Lösning till övning 3
SamverkanLinalgLIU
Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Vi behöver summan
och
\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}.
Avbildningen \displaystyle G är inte linjär, ty
T.ex., följer att
\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\
&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}