Lösning till övning 2

SamverkanLinalgLIU

Vi visar att \displaystyle F inte är linjär genom att visa att \displaystyle F inte är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2. Då gäller att

               F(\lambda\boldsymbol{u})&=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
                                &=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F(\boldsymbol{u}).

Alltså är \displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F(\boldsymbol{u}). Man kan också visa att \displaystyle F inte är additiv.