SamverkanLinalgLIU

Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.

3.1 Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.

3.2 För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?

3.3 Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.

3.4 Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.

3.5 Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

1. Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
2. Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.

3.6 Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.

3.7 Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.

3.8 Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

\displaystyle {\rm a)}\ \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}

\qquad{\rm b)}\ \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}

\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

3.9 Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende

\displaystyle {\rm a)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}

\qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}

\qquad{\rm c)}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}

3.10 Visa att vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-7\\1\end{pmatrix} ligger i samma plan som vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}. Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

3.11 Ligger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix} i samma plan?