SamverkanLinalgLIU

1a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}13&-4&2\\-4&k&-2\\2&-2&10\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=13

1b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}22&-10&8\\-10&k&-2\\8&-2&16\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=25

2a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&-2&-1\\-2&k&-2\\-1&-2&2\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=-1

2b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&2\\1&k&-2\\2&-2&-1\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=2

3a. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-3,0,1)^t

\displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0)^t \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,1,0)^t

3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&4\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=-1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-1,0,1)^t

\displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,1,0)^t \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,0,0)^t

4a. Ange den \displaystyle 3\times3 matris som har egenvärden \displaystyle \lambda_1=-4, \displaystyle \lambda_2=-3 och \displaystyle \lambda_3=0 hörande till egenvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_ 1=(1,-1,0)^t, \displaystyle \boldsymbol{v}_ 2=(1,1,1)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_ 3=(1,1,0)^t.

Svar: \displaystyle \left(\begin{array}{rrr}{-2}&{2}&{-3}\\}2}&{-2}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\end{array}\right)