SamverkanLinalgLIU

Underlag för dugga 1

1A. Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}

1B. Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

2A. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

2B. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt14}\begin{pmatrix}-3\\1\\-2\end{pmatrix}$$

3A. För vilka t ligger punkterna $(t,0,-2),(t,0,-1),(3,-1,-2)och$\displaystyle (2,-1,1) i samma plan?

Svar: t=1

3B. För vilka t ligger punkterna \displaystyle (t,-1,2),(t,0,1),(-2,1,1)och \displaystyle (1,0,-1) i samma plan?

Svar: t=-1

4A. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\a+2\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1, a=-2

4B. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a+1\\-1\\0\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\a\\-1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\0\\a\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1

5A. Visa först att \displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&&&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &- &\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&-\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&&\end{array}\right.

är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} i basen