16. Linjära avbildningar
SamverkanLinalgLIU
| Rad 77: | Rad 77: | ||
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)</math></center> | <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)</math></center> | ||
Bestäm bilden <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right)</math> under <math>F</math>. Ange urbilden till <math> \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math> under <math>F</math>. | Bestäm bilden <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right)</math> under <math>F</math>. Ange urbilden till <math> \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3</math> under <math>F</math>. | ||
| + | {{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3| | ||
| + | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| + | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | 4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av | + | 4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>{\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av |
<center><math> | <center><math> | ||
F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)</math></center> | F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)</math></center> | ||
# Visa att <math>F</math> är linjär. | # Visa att <math>F</math> är linjär. | ||
# Bestäm <math>F^{-1}</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> | # Bestäm <math>F^{-1}</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> | ||
| + | {{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3| | ||
| + | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| + | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| + | |||
| + | 5. Låt | ||
| + | {{#NAVCONTENT: | ||
| + | Svar|Svar till övning 3| | ||
| + | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| + | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| + | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| + | |||
| Rad 109: | Rad 130: | ||
| - | <math> \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}</math> | ||
=== Projektion och spegling === | === Projektion och spegling === | ||
Versionen från 27 juni 2008 kl. 19.59
Innehåll |
Definition av linjär avbildning
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Övningar
1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
- \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)
Hämtar...2. Låt \displaystyle F och \displaystyle G vara avbildningar på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av
Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A. Undersök om \displaystyle G är linjär.
3. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
4. Hej
Matrisframställning
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf
1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att
2. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom
3. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.
4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle {\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av
- Visa att \displaystyle F är linjär.
- Bestäm \displaystyle F^{-1}:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}
5. Låt
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]); Den första urbilden skriver Du som > u1:=matrix(2,1,[3,4]); Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden > v1=multiply(A,u1);
Räknar Maple rätt?
Kontrollera nu den andra urbilden!
