16. Linjära avbildningar

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
m (Återställt redigeringar av Geoba (användardiskussion); återställd till senaste version av Oweka)
Rad 1: Rad 1:
-
[[Definition av linjär avbildning]]
+
=== Definition av linjär avbildning ===
-
[[Matrisframställning]]
+
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
-
[[Projektion och Spegling]]
+
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
-
 
+
-
 
+
-
=== Rotation i rummet ===
+
-
 
+
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_5.pdf||center]]
+
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.
+
1. Låt <math>F</math> och <math>G</math> vara avbildningar på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
-
<center><math>
+
-
A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
+
-
A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
+
-
A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)
+
-
</math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
 +
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger-ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
+
Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. Undersök om <math>G</math> är
-
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>. Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
+
linjär.{{#NAVCONTENT:
-
{{#NAVCONTENT:
+
Svar|Svar till övning 1|
-
Svar|Svar till övning 5|
+
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
Lösning|Lösning till övning 1}}
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
=== Sammansatta linjära avbildningar ===
 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_6.pdf||center]]
 
-
'''Övningar'''
+
2. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>.
+
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad
-
Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller
+
{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
-
<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center>
+
-
Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
+
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 3|
+
Svar|Svar till övning 2|
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
Lösning|Lösning till övning 2}}
-
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
+
3. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
-
 
+
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_7.pdf||center]]
+
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
-
 
+
:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>{{#NAVCONTENT:
-
'''Övningar'''
+
Svar|Svar till övning 3|
-
 
+
-
 
+
-
1. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\boldsymbol{e}</math> ges av matrisen
+
-
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>
+
-
Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>. Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Rad 71: Rad 44:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
2. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
+
4. Hej
-
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>
+
-
och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm Visa <math>V(F)\cap N(G)</math>.
+
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 5|
+
Svar|Svar till övning 4|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Rad 81: Rad 52:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
3. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
+
5. Hej igen nu testar vi.
-
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>
+
-
Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.
+
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 5|
Svar|Svar till övning 5|
Rad 91: Rad 60:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
4. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen
+
=== Matrisframställning ===
-
<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>
+
-
Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
5. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom
 
-
<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>
 
-
# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.
 
-
# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
-
6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> med
+
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_2.pdf||center]]
-
<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>
+
-
och
+
-
<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center>
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
7. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
 
-
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
 
-
</math></center>
 
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
-
8. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
+
1. Gör övning 17.22.
-
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
+
[[Bild:o_linavb.pdf||center]]
-
</math></center>
+
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen
 
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>
 
-
som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>
 
-
avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>, <math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på
 
-
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> resp. <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också <math>V(F)</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
 +
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
-
=== Basbyte ===
+
<pre>
 +
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_8.pdf||center]]
 
-
'''Övningar'''
+
Den första urbilden skriver Du som
-
1. Givet två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>. Ange följande bassamband
+
> u1:=matrix(2,1,[3,4]);
-
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
+
-
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
+
-
\boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
+
-
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.</math></center>
+
-
på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
-
2. Givet en bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> i planet. Vi inför en ny bas
+
Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> genom att sätta
+
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T</math>, där <math>T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right).</math>
+
-
En linje har ekvationen <math>x_1+7x_2=0</math> i den gamla basen.
+
-
Vad är dess ekvationen i den nya basen?
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 5|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
+
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
+
 +
> v1=multiply(A,u1);
 +
</pre>
 +
Räknar Maple rätt?
 +
Kontrollera nu den andra urbilden!
- 
-
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
 
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_9.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
-
1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen
 
-
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 
-
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 
-
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen
 
-
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen
 
-
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 
-
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen
 
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom
 
-
<center><math>
 
-
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad
 
-
F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
 
-
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 
-
Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där
 
-
<center><math>
 
-
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 
-
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
5. Visa att matriserna
 
-
<center><math>
 
-
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
 
-
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center>
 
-
ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
 +
<math> \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}</math>
 +
=== Projektion och spegling ===
 +
=== Plan rotation ===
 +
=== Rotation i rummet ===
 +
=== Sammansatta linjära avbildningar ===
 +
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
 +
=== Basbyte ===
 +
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_10.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 
-
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 
-
genom
 
-
<center><math>
 
-
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 
-
</math></center>
 
-
Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 
-
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 
-
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 
-
genom
 
-
<center><math>
 
-
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 
-
</math></center>
 
-
Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 
-
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
-
3. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en ortogonal projektion på planet
 
-
<math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Välj en lämplig ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> och ange <math>F</math>:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 
- 
- 
- 
=== Rotationer ===
=== Rotationer ===
- 
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_11.pdf||center]]
 
- 
-
'''Övningar'''
 
- 
- 
-
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
 
-
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.
 
-
Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 
-
{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 5|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 
-
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 

Versionen från 15 augusti 2008 kl. 10.02

Innehåll

Definition av linjär avbildning

Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt \displaystyle F och \displaystyle G vara avbildningar på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A. Undersök om \displaystyle G är linjär.

Svar
Svar till övning 1
Tips 1
Tips 1 till övning 1
Tips 2
Tips 2 till övning 1
Tips 3
Tips 3 till övning 1
Lösning
Lösning till övning 1


2. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad {\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.


Svar
Svar till övning 2
Tips 1
Tips 1 till övning 2
Tips 2
Tips 2 till övning 2
Tips 3
Tips 3 till övning 2
Lösning
Lösning till övning 2


3. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

  • \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
  • \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
  • \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)
Svar
Svar till övning 3
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

4. Hej


Svar
Svar till övning 4
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

5. Hej igen nu testar vi.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

Matrisframställning

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf


1. Gör övning 17.22. Bild:O linavb.pdf


Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt 

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);


Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!



\displaystyle \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}

Projektion och spegling

Plan rotation

Rotation i rummet

Sammansatta linjära avbildningar

Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Basbyte

Linjära avbildningar och basbyte

Projektioner och speglingar med basbyte

Rotationer

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16._Linj%C3%A4ra_avbildningar