Lösning till övning 2
SamverkanLinalgLIU
(Skillnad mellan versioner)
| Rad 9: | Rad 9: | ||
<center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center> | <center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
Vi får att | Vi får att | ||
| - | <center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\ | + | <center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2(a_1+a_2)+3(b_1+b_2)}{4(a_1+a_2)-5(b_1+b_2)}.</math></center> |
Av räknelagarna för matriser följer nu att | Av räknelagarna för matriser följer nu att | ||
| - | <center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\ | + | <center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2a_1+3b_1}{4a_1-5b_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2a_2+3b_2}{4a_2-5b_2} |
=F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center> | =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center> | ||
Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>. | Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>. | ||
Då är | Då är | ||
<center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2) | <center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2) | ||
| - | =\underline{\boldsymbol{e}}\ | + | =\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2\lambda x_1+3\lambda x_2}{4\lambda x_1-5\lambda x_2} |
| - | =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\ | + | =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2x_1+3x_2}{4x_1-5x_2}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center> |
Alltså är <math>F_2</math> linjär. | Alltså är <math>F_2</math> linjär. | ||
:*Låt | :*Låt | ||
Versionen från 14 augusti 2008 kl. 11.33
- Vi visar att \displaystyle F_1 inte är linjär genom att visa att \displaystyle F_1 inte är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är
\displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2. Då gäller att
F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
&=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
\end{align}Alltså är \displaystyle F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u}). Man kan också visa att \displaystyle F_1 inte är additiv.
- 1. Vi visar först att \displaystyle F_2 är additiv. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle \boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2. Då är
Vi får att
Av räknelagarna för matriser följer nu att
Vi visar nu att \displaystyle F_2 är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2. Då är
=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2\lambda x_1+3\lambda x_2}{4\lambda x_1-5\lambda x_2}
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{-2x_1+3x_2}{4x_1-5x_2}=\lambda F(\boldsymbol{u}). Alltså är \displaystyle F_2 linjär.
- Låt
