Lösning till övning 1
SamverkanLinalgLIU
(Skillnad mellan versioner)
| Rad 3: | Rad 3: | ||
2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen: | 2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen: | ||
<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center> | <center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center> | ||
| - | + | Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär. | |
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär: | b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär: | ||
| Rad 11: | Rad 11: | ||
och | och | ||
<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center> | <center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center> | ||
| + | |||
| + | c) <math>F</math> är ej linjär: | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) | ||
| + | =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ | ||
| + | &=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 | ||
| + | +(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ | ||
| + | &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 | ||
| + | \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2) | ||
| + | \end{align} | ||
Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.39
a) 1. Vi visar först att \displaystyle F är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att
2. Vi visar nu att \displaystyle F är homogen:
Alltså \displaystyle F är både additiv och homogen och därmed linjär.
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att \displaystyle F är linjär: \displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2) \end{align}
och
c) \displaystyle F är ej linjär:
\begin{align}
F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)
=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\
&=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1
+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\
&=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2
\neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
\end{align}
