Slask testovn1
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Rad 56: | Rad 56: | ||
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right). </math></center> | <center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right). </math></center> | ||
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | ||
- | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad | + | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad |
- | \boldsymbol{f}_2= | + | \boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> |
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+ | Svar <math>\begin{matrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}</math> | ||
Versionen från 6 november 2008 kl. 23.01
1a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3
Svar \displaystyle F_2
1b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
Svar \displaystyle F_1
6a. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen
- Bestäm \displaystyle N(F)
- Bestäm \displaystyle V(F).
Svar 1. \displaystyle N(F)=[(2,1,-1)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(4,5,6)^t].
6b. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen
- Bestäm \displaystyle N(F)
- Bestäm \displaystyle V(F).
Svar 1. \displaystyle N(F)=[(1,2,-3)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(2,1,5)^t,(2,4,5)^t].
7a. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}
7b. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\
\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}
8a. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Svar \displaystyle \begin{matrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}
8b. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen