SamverkanLinalgLIU

Versionen från 6 november 2008 kl. 17.06 (redigera) Oweka (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 6 november 2008 kl. 17.07 (redigera) (ogör) Oweka (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 29:		Rad 29:
	Svar <math>\begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}</math>		Svar <math>\begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}</math>
-	3A Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>-x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.	+	3A. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>-x_1+x_2+x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
	Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.		Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.
	Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-1&-1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}</math>		Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-1&-1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}</math>
-	3B Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1+x_2-x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.	+	3B. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1+x_2-x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>.
	Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.		Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen.
	Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\-1&-1&4\end{pmatrix}</math>		Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\-1&-1&4\end{pmatrix}</math>

---

Versionen från 6 november 2008 kl. 17.07

1A. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle F_2

1B. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

1. \displaystyle F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3
2. \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
3. \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Svar \displaystyle F_1

2A. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\-5&5&-4\end{pmatrix}

2B. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}

3A. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle -x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-1&-1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}

3B. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.

Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\-1&-1&4\end{pmatrix}