10.6 Bas och koordinater
SamverkanLinalgLIU
| Rad 17: | Rad 17: | ||
| - | ===Övning 11. | + | |
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.9=== | ||
| + | Låt | ||
| + | <center><math> | ||
| + | U=[(1,1,1,1)^t,(1,1,1,0)^t,(1,1,0,1)^t]\subset{\bf R}^4 | ||
| + | </math></center> | ||
| + | och | ||
| + | <center><math> | ||
| + | V=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0,\quad | ||
| + | x_1+2x_2+x_3+3x_4=0\}\subset{\bf R}^4 | ||
| + | </math></center> | ||
| + | beteckna underrum i <math> {\bf R}^4 </math>. Ange underrummet <math> U\cap V </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 11.9 | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 11.9}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.10=== | ||
| + | Låt <math> U </math> och <math> V </math> vara de underrum i <math> {\bf R}^4 </math> som ges av att | ||
| + | <center><math>U=[(1,0,1,0)^t,(0,1,1,1)^t] | ||
| + | </math></center> | ||
| + | och | ||
| + | <center><math> | ||
| + | V=[(4,-5,-1,-5)^t,(-3,2,-1,2)^t]. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Visa att <math> U=V </math>. (Motivera väl!) | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 11.10 | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 11.10}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.11=== | ||
| + | Visa att vektorerna <math> (1,2,3,4)^t </math>, <math> (0,1,2,3)^t </math>, <math> (0,0,1,2)^t </math>, <math> (0,0,0,1)^t </math> utgör en bas för <math> {\bf R}^4 </math>. | ||
| + | Ange koordinaterna för <math> (1,1,1,1)^t </math> i denna bas. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 11.11 | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 11.11}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.12=== | ||
| + | a) Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\ | ||
| + | x_1&+&x_2&-&x_3& & | ||
| + | &=&0\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | och utvidga denna till en bas för <math> {\bf R}^4 </math>. | ||
| + | |||
| + | b) Ange koordinaterna för <math> \boldsymbol{u}=(1,0,0,0)^t </math> i basen Du har valt i a). | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 11.10 | ||
| + | |Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 11.12a | ||
| + | |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 11.12b}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.13=== | ||
| + | Ange en bas för <math> U\cap V </math> om | ||
| + | <center><math> | ||
| + | U=[(1,1,1)^t,(1,0,-1)^t]\quad\mbox{och}\quad | ||
| + | V=[(2,1,1)^t,(1,0,1)^t]. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 11.13 | ||
| + | |Tips och lösning|Tips och lösning till U 11.13}} | ||
Versionen från 17 oktober 2010 kl. 13.59
| 10.1 | 10.2 | 10.3 | 10.4 | 10.5 | 10.6 | 10.7 |
Läs textavsnitt 10.6 Bas och koordinater.
Du har nu läst definitionen av bas och koordinater och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Innehåll |
Övning 11.9
Låt
U=[(1,1,1,1)^t,(1,1,1,0)^t,(1,1,0,1)^t]\subset{\bf R}^4
och
V=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0,\quad x_1+2x_2+x_3+3x_4=0\}\subset{\bf R}^4
beteckna underrum i \displaystyle {\bf R}^4 . Ange underrummet \displaystyle U\cap V .
Hämtar...
Övning 11.10
Låt \displaystyle U och \displaystyle V vara de underrum i \displaystyle {\bf R}^4 som ges av att
och
V=[(4,-5,-1,-5)^t,(-3,2,-1,2)^t].
Visa att \displaystyle U=V . (Motivera väl!)
Övning 11.11
Visa att vektorerna \displaystyle (1,2,3,4)^t , \displaystyle (0,1,2,3)^t , \displaystyle (0,0,1,2)^t , \displaystyle (0,0,0,1)^t utgör en bas för \displaystyle {\bf R}^4 . Ange koordinaterna för \displaystyle (1,1,1,1)^t i denna bas.
Övning 11.12
a) Bestäm en bas för lösningsrummet till ekvationssystemet
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&+&x_2&-&x_3& &
&=&0\end{array}\right.
och utvidga denna till en bas för \displaystyle {\bf R}^4 .
b) Ange koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(1,0,0,0)^t i basen Du har valt i a).
Övning 11.13
Ange en bas för \displaystyle U\cap V om
U=[(1,1,1)^t,(1,0,-1)^t]\quad\mbox{och}\quad V=[(2,1,1)^t,(1,0,1)^t].
