Lösning till övning 1

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 6: Rad 6:
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
-
<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
+
<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math></center>
och
och
Rad 13: Rad 13:
c) <math>F</math> är ej linjär:
c) <math>F</math> är ej linjär:
-
\begin{align}
+
<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-
F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)
+
\end{align}</math></center>
-
=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\
+
-
&=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1
+
-
+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\
+
-
&=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2
+
-
\neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
+
-
\end{align}
+

Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.47

a) 1. Vi visar först att \displaystyle F är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att

\displaystyle F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).

2. Vi visar nu att \displaystyle F är homogen:

\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).

Alltså \displaystyle F är både additiv och homogen och därmed linjär.

b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att \displaystyle F är linjär:

\displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2) \end{align}

och

\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).

c) \displaystyle F är ej linjär:

\displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2) \end{align}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_1