Lösning till övning 1

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 1: Rad 1:
-
a) Se Exempel 16.10.
+
a) 1. Vi visar först att <math>F</math> är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att
 +
<center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
 +
2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:
 +
<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
 +
Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 +
 +
och
 +
<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>

Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.36

a) 1. Vi visar först att \displaystyle F är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att

\displaystyle F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).

2. Vi visar nu att \displaystyle F är homogen:

\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).
     Alltså \displaystyle F är både additiv och homogen och därmed linjär.

b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att \displaystyle F är linjär: \displaystyle \begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2) \end{align}

och

\displaystyle F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_1