16. Linjära avbildningar
SamverkanLinalgLIU
| Rad 107: | Rad 107: | ||
# Vektorerna | # Vektorerna | ||
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3).</math></center> utgör en ny bas. Bestäm <math>F</math>:s matris i den nya basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}=<math>\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> | ||
| - | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning 3| | ||
| - | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
| - | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
| - | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
| - | 7. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>. | ||
| - | Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller | ||
| - | <center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center> | ||
| - | Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>. | ||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
Svar|Svar till övning 3| | Svar|Svar till övning 3| | ||
| Rad 249: | Rad 238: | ||
'''Övningar''' | '''Övningar''' | ||
| - | 1. | + | 1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>. |
| + | Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller | ||
| + | <center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center> | ||
| + | Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>. | ||
{{#NAVCONTENT: | {{#NAVCONTENT: | ||
| - | Svar|Svar till övning | + | Svar|Svar till övning 3| |
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | Tips 1|Tips 1 till övning 17.21| | ||
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | Tips 2|Tips 2 till övning 17.21| | ||
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | Tips 3|Tips 3 till övning 17.21| | ||
Lösning|Lösning till övning 17.21}} | Lösning|Lösning till övning 17.21}} | ||
| - | |||
Versionen från 28 juni 2008 kl. 08.10
Innehåll |
Definition av linjär avbildning
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
Övningar
1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
- \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)
Hämtar...2. Låt \displaystyle F och \displaystyle G vara avbildningar på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av
Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A. Undersök om \displaystyle G är linjär.
3. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
Matrisframställning
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att
2. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom
3. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen
Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.
4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle {\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av
- Visa att \displaystyle F är linjär.
- Bestäm \displaystyle F^{-1}:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}
5. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V$, där dim . Ange matrisen för den linjära avbildning, \displaystyle F, som byter plats på \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2. Bestäm sedan vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 sådan att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1 och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2. Välj \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\} som bas. Ange \displaystyle F:s matris i denna bas.
6. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt
där \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3.
- Bestäm \displaystyle F:s matris i denna bas.
- Vektorerna
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]); Den första urbilden skriver Du som > u1:=matrix(2,1,[3,4]); Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden > v1=multiply(A,u1);
Räknar Maple rätt?
Kontrollera nu den andra urbilden!
Projektion och spegling
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 3.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:
- spegling i \displaystyle x_1-axeln.
- ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+x_2=0.
- spegling i linjen \displaystyle x_1+x_2=0.
- ortogonal projektion på linjen \displaystyle 4x_1+3x_2=0.
2. Låt \displaystyle G vara ortogonal projektion på normalen till planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle G:s matris i standardbasen.
3. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.
4. Låt \displaystyle F vara spegling i planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.
Plan rotation
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 4.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:
- rotation ett kvarts varv i positiv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_1 till \displaystyle \boldsymbol{e}_2).
- rotation vinkeln \displaystyle \pi/6 i negatitv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle \boldsymbol{e}_1).
Rotation i rummet
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 5.pdf
Övningar
1. Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.
A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)
2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger-ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt
\displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Sammansatta linjära avbildningar
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 6.pdf
Övningar
1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V, där dim \displaystyle V=2. Antag att \displaystyle F:V\rightarrow V är en linjär avbildning som uppfyller
Bestäm matrisen för \displaystyle F^2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Nollrum, Värderum och dimensionssatsen
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 7.pdf
Övningar
1. Hej
Basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 8.pdf
Övningar
1. Hej
Linjära avbildningar och basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf
Övningar
1. Hej
Projektioner och speglingar med basbyte
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf
Övningar
1. Hej
Rotationer
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf
Övningar
1. Hej
