Slask testovn1

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (7 november 2008 kl. 16.03) (redigera) (ogör)
 
(18 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
1a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
 
- 
-
# <math>F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3</math>
 
- 
-
Svar <math>F_2</math>
 
- 
-
1b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
 
- 
-
# <math>F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3</math>
 
-
# <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
- 
-
Svar <math>F_1</math>
 
- 
- 
- 
6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen
6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center>
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center>
Rad 37: Rad 19:
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\
-
\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
+
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
-
Svar <math>\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}</math>
+
Svar <math>\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math>
Rad 47: Rad 29:
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\
-
\boldsymbol{f}_3&=&&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
+
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
-
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
+
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
8a. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen
 +
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right). </math></center>
 +
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
 
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
8b. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen
 +
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right). </math></center>
 +
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
9a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
9b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
10a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math>
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
10b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>3\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math>
-
Svar <math>\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}</math>
+
Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.</math>

Nuvarande version

6a. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).
  1. Bestäm \displaystyle N(F)
  2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(2,1,-1)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(4,5,6)^t].


6b. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 2& 2\\ 1& 4& 3\\ 5& 5& 5\end{array}\right).
  1. Bestäm \displaystyle N(F)
  2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(1,2,-3)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(2,1,5)^t,(2,4,5)^t].


7a. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}


7b. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\

\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}


8a. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.


Svar \displaystyle \begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}


8b. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}


9a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.


9b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.


10a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.


10b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle 3\pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask_testovn1