Slask testovn1
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| (21 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | 1a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. | ||
| - | |||
| - | # <math>F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| - | # <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| - | # <math>F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| - | |||
| - | Svar <math>F_2</math> | ||
| - | |||
| - | 1b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. | ||
| - | |||
| - | # <math>F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| - | # <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| - | # <math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
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| - | Svar <math>F_1</math> | ||
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6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen | 6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen | ||
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center> | <center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center> | ||
| Rad 37: | Rad 19: | ||
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ | ||
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\ | \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| - | \boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e} | + | \boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center> |
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> | Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 7b. Sambandet mellan två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> ges av | ||
| + | <center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl} | ||
| + | \boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\ | ||
| + | \boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center> | ||
| + | Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 8a. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen | ||
| + | <center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right). </math></center> | ||
| + | Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | ||
| + | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| + | \boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | 8b. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen | ||
| + | <center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right). </math></center> | ||
| + | Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen | ||
| + | <center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| + | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 9a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. | ||
| + | Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> | ||
| + | genom | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen | ||
| + | <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> | ||
| + | och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>. | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 9b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. | ||
| + | Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> | ||
| + | genom | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen | ||
| + | <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> | ||
| + | och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>. | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 10a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 10b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>3\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.</math> | ||
Nuvarande version
6a. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen
- Bestäm \displaystyle N(F)
- Bestäm \displaystyle V(F).
Svar 1. \displaystyle N(F)=[(2,1,-1)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(4,5,6)^t].
6b. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen
- Bestäm \displaystyle N(F)
- Bestäm \displaystyle V(F).
Svar 1. \displaystyle N(F)=[(1,2,-3)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(2,1,5)^t,(2,4,5)^t].
7a. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}
7b. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}
8a. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}
8b. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen
Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}
9a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet.
Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}
genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.
9b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet.
Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}
genom
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.
Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.
10a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3
Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.
10b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle 3\pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3
Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.
