Processing Math: 45%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Slask testovn1

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (7 november 2008 kl. 16.03) (redigera) (ogör)
 
(23 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
1a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
 
- 
-
# <math>F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3</math>
 
- 
-
Svar <math>F_2</math>
 
- 
-
1b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
 
- 
-
# <math>F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3</math>
 
-
# <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
-
# <math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math>
 
- 
-
Svar <math>F_1</math>
 
- 
- 
- 
6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen
6a. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center>
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).</math></center>
Rad 35: Rad 17:
7a. Sambandet mellan två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> ges av
7a. Sambandet mellan två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> ges av
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
-
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
+
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\
-
\boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
+
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\
-
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.</math></center>
+
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
-
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen }<math>\underline{\boldsymbol{f}}}</math>
+
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
7b. Sambandet mellan två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> ges av
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\
 +
\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.</math></center>
 +
Ange koordinaterna för vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
8a. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen
 +
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right). </math></center>
 +
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
 
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
8b. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> matrisen
 +
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right). </math></center>
 +
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
 
 +
Svar <math>\begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
9a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
9b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>2x_1+x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
10a. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math>
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.</math>
 +
 
 +
 
 +
10b. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en rotation vinkeln <math>3\pi/2</math> i positiv led runt en axel parallell med vektorn <math>2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3</math>
 +
 
 +
Svar <math>\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.</math>

Nuvarande version

6a. Låt F vara en avbildning på rummet som i basen ges av matrisen

A=1234566912
  1. Bestäm N(F)
  2. Bestäm V(F).

Svar 1. N(F)=[(21−1)t], 2. V(F)=[(123)t(456)t].


6b. Låt F vara en avbildning på rummet som i basen ges av matrisen

A=215245235
  1. Bestäm N(F)
  2. Bestäm V(F).

Svar 1. N(F)=[(12−3)t], 2. V(F)=[(215)t(245)t].


7a. Sambandet mellan två baser =123 och =123 ges av

123===11+22++33

Ange koordinaterna för vektorn =123 i basen

Svar 012


7b. Sambandet mellan två baser =123 och =123 ges av

123===11+22++33

Ange koordinaterna för vektorn =321 i basen

Svar 120


8a. Den linjära avbildningen F:R2R2 har i basen =12 matrisen

A=132−4 

Ange F:s matris A i basen

1=1+222=21+2


Svar \displaystyle \begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}


8b. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}


9a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.


9b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.


10a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.


10b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle 3\pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&-7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask_testovn1