Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

Lösning till övning 2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (13 oktober 2008 kl. 13.10) (redigera) (ogör)
 
(5 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
:*1. Vi undersöker om $G$ är homogen.
+
:*Vi visar att <math>F_1</math> inte är linjär genom att visa att <math>F_1</math> inte är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är
-
Låt <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X</math>. Då är
+
<math>\lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2</math>. Då gäller att
-
<math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2+\lambda x_3\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X</math> och
+
<center><math>\begin{align}
-
<center><math>G(\lambda\boldsymbol{u})=\underline{\boldsymbol{e}}\rvektc{\lambda x_1\lambda x_2}{(\lambda x_2)^2}{\lambda x_2+\lambda x_3}
+
F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
-
=\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}{\lambda x_1x_2}{\lambda x_2^2}{x_2+x_3}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</math></center>
+
&=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
-
:*2. Vi behöver inte fortsätta och undersöka om <math>G</math> är additiv.
+
\end{align}</math></center>
-
Eftersom <math>G</math> inte är homogen så är den inte heller linjär.
+
Alltså är <math>F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u})</math>. Man kan också visa att <math>F_1</math> inte är additiv.
 +
:*1. Vi visar först att <math>F_2</math> är additiv. Låt <math>\boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2</math> och <math>\boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2</math>. Då är <center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
Vi får att
 +
<center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{a_1+a_2}.</math></center>
 +
Av räknelagarna för matriser följer nu att <center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_1+b_1}{a_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_2+b_2}{a_2} =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
 +
2. Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>.
 +
Då är
 +
<center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)
 +
=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{\lambda x_1+\lambda x_2}{\lambda x_1} =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{x_1+x_2}{x_1}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
 +
Alltså är <math>F_2</math> linjär.
 +
:*c) Eftersom
 +
<center><math>F_3(\lambda\boldsymbol{u})=F_3(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda x_1}\\{1}\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}\end{pmatrix}
 +
=\lambda F_3(\boldsymbol{u}),</math></center>
 +
så är <math>F_3</math> inte homogen och därmed inte linjär.

Nuvarande version

  • Vi visar att F1 inte är linjär genom att visa att F1 inte är homogen. Om =x11+x22, så är

=(x1)1+(x2)2. Då gäller att

F1()=F1(x11+x22x2)=(x2)21+(x2)2=(x221+x22)=(x221+x22)=F1()

Alltså är F1()=F1(). Man kan också visa att F1 inte är additiv.

  • 1. Vi visar först att F2 är additiv. Låt 1=a11+b12 och =a21+b22. Då är
    1+2=(a1+a2)1+(b1+b2)2

Vi får att

F2(1+2)=F2((a1+a2)1+(b1+b2)2)=a1+a2(a1+a2)+(b1+b2) 
Av räknelagarna för matriser följer nu att
F(1+2)=a1a1+b1+a2a2+b2=F2(1)+F(2) 

2. Vi visar nu att F2 är homogen. Om =x11+x22, så är =x11+x22. Då är

F2()=F(x11+x22)=x1x1+x2=x1x1+x2=F() 

Alltså är F2 linjär.

  • c) Eftersom
F3()=F3(x11+x22)=x11=x11=F3() 

så är F3 inte homogen och därmed inte linjär.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_2