Lösning till övning 3

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (15 augusti 2008 kl. 08.45) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 9: Rad 9:
</math></center>
</math></center>
Avbildningen <math>G</math> är inte linjär, ty
Avbildningen <math>G</math> är inte linjär, ty
-
<center><math>1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</center></math>
+
<center><math>1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</math></center>
T.ex., följer att
T.ex., följer att
-
<center><math>G(\lambda\boldsymbol{u})=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}
+
<center><math>
-
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</math></center>
+
\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\
 +
&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}</math></center>

Nuvarande version

Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Vi behöver summan

\displaystyle \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1+a_2}\\{b_1+b_2}\\{c_1+c_2}\end{pmatrix}

och

\displaystyle

\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}.

Avbildningen \displaystyle G är inte linjär, ty

\displaystyle 1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).

T.ex., följer att

\displaystyle

\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\

&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3