Lösning till övning 2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (13 oktober 2008 kl. 13.10) (redigera) (ogör)
 
(15 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 3: Rad 3:
<center><math>\begin{align}
<center><math>\begin{align}
F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
-
&=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
+
&=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
\end{align}</math></center>
\end{align}</math></center>
Alltså är <math>F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u})</math>. Man kan också visa att <math>F_1</math> inte är additiv.
Alltså är <math>F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u})</math>. Man kan också visa att <math>F_1</math> inte är additiv.
-
:*1. Vi visar först att <math>F_2</math> är additiv. Låt <math>\boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2</math> och <math>\boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2</math>. Då är
+
:*1. Vi visar först att <math>F_2</math> är additiv. Låt <math>\boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2</math> och <math>\boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2</math>. Då är <center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center>
-
<center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center>
+
Vi får att
-
Vi får att
+
<center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{a_1+a_2}.</math></center>
-
<center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\pvektc{-2(a_1+a_2)+3(b_1+b_2)}{4(a_1+a_2)-5(b_1+b_2)}.</math></center>
+
Av räknelagarna för matriser följer nu att <center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_1+b_1}{a_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_2+b_2}{a_2} =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
-
Av räknelagarna för matriser följer nu att
+
2. Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>.
-
<center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\pvektc{-2a_1+3b_1}{4a_1-5b_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\pvektc{-2a_2+3b_2}{4a_2-5b_2}
+
Då är
-
=F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
+
<center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)
-
Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>.
+
=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{\lambda x_1+\lambda x_2}{\lambda x_1} =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{x_1+x_2}{x_1}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
-
Då är
+
Alltså är <math>F_2</math> linjär.
-
<center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)
+
:*c) Eftersom
-
=\underline{\boldsymbol{e}}\pvektc{-2\lambda x_1+3\lambda x_2}{4\lambda x_1-5\lambda x_2}
+
<center><math>F_3(\lambda\boldsymbol{u})=F_3(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda x_1}\\{1}\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}\end{pmatrix}
-
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\pvektc{-2x_1+3x_2}{4x_1-5x_2}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
+
=\lambda F_3(\boldsymbol{u}),</math></center>
-
Alltså är <math>F_2</math> linjär.
+
så är <math>F_3</math> inte homogen och därmed inte linjär.
-
:*Låt
+

Nuvarande version

  • Vi visar att \displaystyle F_1 inte är linjär genom att visa att \displaystyle F_1 inte är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är

\displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2. Då gäller att

\displaystyle \begin{align}

F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\ 

             &=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
\end{align}

Alltså är \displaystyle F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u}). Man kan också visa att \displaystyle F_1 inte är additiv.

  • 1. Vi visar först att \displaystyle F_2 är additiv. Låt \displaystyle \boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle \boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2. Då är
    \displaystyle \boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.

Vi får att

\displaystyle F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{a_1+a_2}.
Av räknelagarna för matriser följer nu att
\displaystyle F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_1+b_1}{a_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_2+b_2}{a_2} =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).

2. Vi visar nu att \displaystyle F_2 är homogen. Om \displaystyle \boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2, så är \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2. Då är

\displaystyle F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2) =\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{\lambda x_1+\lambda x_2}{\lambda x_1} =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{x_1+x_2}{x_1}=\lambda F(\boldsymbol{u}).

Alltså är \displaystyle F_2 linjär.

  • c) Eftersom
\displaystyle F_3(\lambda\boldsymbol{u})=F_3(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda x_1}\\{1}\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}\end{pmatrix} =\lambda F_3(\boldsymbol{u}),

så är \displaystyle F_3 inte homogen och därmed inte linjär.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_2