8.5 Tillämpningar av determinanter

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Ej vald flik|[[8.1 Determinanter av ordning 2 oc...)
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 16.27) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 10: Rad 10:
-
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/49/Kap4_1.pdf 4.1 Definition av vektorprodukt].
+
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/4/45/Kap8_5.pdf 8.5 Tillämpningar av determinanter].
-
Du har nu läst definitionen av determinanter av ordning 2 och 3 och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
+
Du har nu läst om tillämpningar av determinanter och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
 +
 +
__TOC__
 +
<div class="ovning">
===Övning 9.5===
===Övning 9.5===
 +
Avgör om följande matriser är inverterbara
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math> \begin{pmatrix}1&2&1\\0&2&0\\3&6&4\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>\begin{pmatrix}2&1&1\\{-1}&2&3\\0&5&7 \end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.5|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 9.5a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 9.5b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 9.6===
 +
Bestäm de värden på <math> a</math> för vilka matrisen
 +
<math>
 +
\begin{pmatrix}2&2&a\\1&2&0\\-1&2&1\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
är inverterbar.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.6|Tips och lösning|Tips och lösning till U 9.6}}
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 9.7===
 +
Undersök om följande vektorer är linjärt oberoende
 +
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%"| <math>\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix} 0\\4\\5\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%"| <math>\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix} 1\\-4\\2\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.7|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 9.7a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 9.7b}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 9.8===
 +
För vilka värden på <math> a</math> är de tre vektorerna
 +
<math>
 +
\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix} 2\\a\\2-a\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix} 2a\\1\\a-2\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
linjärt beroende?
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.8|Tips och lösning|Tips och lösning till U 9.8}}
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 9.9===
 +
Bestäm för varje reellt <math> a</math> antalet lösningar till ekvationssystemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&-&y&+&az&=&1\\2x&-&y&+&z&=&-1\\ax&+&y&-&z&=&1\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.9|Tips och lösning|Tips och lösning till U 9.9}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovning">
 +
===Övning 9.10===
 +
För vilka <math> \lambda</math> har ekvationssystemet
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&2z&=&\lambda x\\2x&&&-&2z&=&\lambda y\\-2x&+&2y&+&z&=&\lambda
 +
z\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
icke-triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa <math> \lambda</math> .
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 9.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 9.10}}

Nuvarande version

       8.1          8.2          8.3          8.4          8.5      


Läs textavsnitt 8.5 Tillämpningar av determinanter.

Du har nu läst om tillämpningar av determinanter och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.


Innehåll

Övning 9.5

Avgör om följande matriser är inverterbara

a) \displaystyle \begin{pmatrix}1&2&1\\0&2&0\\3&6&4\end{pmatrix} b) \displaystyle \begin{pmatrix}2&1&1\\{-1}&2&3\\0&5&7 \end{pmatrix}
Svar
Svar till U 9.5
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 9.5a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 9.5b


Övning 9.6

Bestäm de värden på \displaystyle a för vilka matrisen \displaystyle \begin{pmatrix}2&2&a\\1&2&0\\-1&2&1\end{pmatrix} är inverterbar.

Svar
Svar till U 9.6
Tips och lösning
Tips och lösning till U 9.6



Övning 9.7

Undersök om följande vektorer är linjärt oberoende

a) \displaystyle \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 0\\4\\5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

b) \displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix},

\begin{pmatrix} 1\\-4\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}

Svar
Svar till U 9.7
Tips och lösning till a)
Tips och lösning till U 9.7a
Tips och lösning till b)
Tips och lösning till U 9.7b


Övning 9.8

För vilka värden på \displaystyle a är de tre vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\a\\2-a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2a\\1\\a-2\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar
Svar till U 9.8
Tips och lösning
Tips och lösning till U 9.8


Övning 9.9

Bestäm för varje reellt \displaystyle a antalet lösningar till ekvationssystemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&-&y&+&az&=&1\\2x&-&y&+&z&=&-1\\ax&+&y&-&z&=&1\end{array}\right.

Svar
Svar till U 9.9
Tips och lösning
Tips och lösning till U 9.9




Övning 9.10

För vilka \displaystyle \lambda har ekvationssystemet

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&2z&=&\lambda x\\2x&&&-&2z&=&\lambda y\\-2x&+&2y&+&z&=&\lambda 

   z\end{array}\right.

icke-triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa \displaystyle \lambda .

Svar
Svar till U 9.10
Tips och lösning
Tips och lösning till U 9.10
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/8.5_Till%C3%A4mpningar_av_determinanter