Slask dugga 3

SamverkanLinalgLIU

Nuvarande version

Underlag för dugga 3

1a. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\\10\end{pmatrix}

1b. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\6\\-3\\-1\end{pmatrix}

2a. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

och

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,0,1)]^t

2b. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

och

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,-1,1)]^t

3a. Sätt

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t i

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t

3b. Sätt

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t i

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t

4a. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (1,2,3,4) till

svar: avståndet är 1 l.e.

4b. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (3,-1,-1,-1) till

svar: avståndet är 2 l.e.

5a. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-1,2), \displaystyle (1,-1) och \displaystyle (3,5).

svar: \displaystyle y=\frac{3}{4}k+\frac{5}{4}.

5b. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-2,1), \displaystyle (2,-1) och \displaystyle (3,6).

svar: \displaystyle y=\frac{4}{7}k+\frac{10}{7}.