Slask testovn
SamverkanLinalgLIU
| (34 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | 2. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> definieras genom | + | 1A. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. |
| + | |||
| + | # <math>F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| + | # <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| + | # <math>F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>F_2</math> | ||
| + | |||
| + | 1B. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^3</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. | ||
| + | |||
| + | # <math>F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3</math> | ||
| + | # <math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| + | # <math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>F_1</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | 2A. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> definieras genom | ||
<center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | <center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad | ||
| - | F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center> | + | F(\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center> |
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\-5&5&-4\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 2B. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> definieras genom | ||
| + | <center><math> F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad | ||
| + | F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3. </math></center> | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 3A. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1-x_2-x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>. | ||
| + | Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen. | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 3B. Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på planet <math>x_1+x_2-x_3=0</math> i <math>{\bf E}^3</math>. | ||
| + | Ange <math>F</math>:s matris i standardbasen. | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 4A. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> för följande linjära avbildningar: | ||
| + | # rotation ett halvt varv i positiv led. | ||
| + | # rotation vinkeln <math>\pi/2</math> i negatitv led. | ||
| + | |||
| + | Svar | ||
| + | |||
| + | 1.<math>\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 2.<math>\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 4B. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> för följande linjära avbildningar: | ||
| + | # rotation ett varv i positiv led. | ||
| + | # rotation vinkeln <math>\pi/3</math> i negatitv led. | ||
| + | |||
| + | Svar | ||
| + | |||
| + | 1.<math>\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 2.<math>\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&\sqrt3\\\sqrt3&1\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 5A. Låt <math>F</math> vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}</math>. Låt sedan <math>G</math> vara en spegling i samma plan vars matris är <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}</math>. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet. | ||
| + | |||
| + | Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}</math> | ||
| + | |||
| + | 5B Låt <math>F</math> vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}</math>. Låt sedan <math>G</math> vara en spegling i samma plan vars matris är <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}</math>. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet. | ||
| - | Svar \begin{pmatrix} | + | Svar <math>\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}</math> |
Nuvarande version
1A. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2^2\\ x_3^3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\ x_3\\ x_1-x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_3(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(1+x_1)\boldsymbol{e}_1+(x_2+x_3)\boldsymbol{e}_2+x_2\boldsymbol{e}_3
Svar \displaystyle F_2
1B. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
- \displaystyle F_1(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3)=(x_1-x_3)\boldsymbol{e}_1+2x_1\boldsymbol{e}_2+(x_1+x_3)\boldsymbol{e}_3
- \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_1\cdot x_2\end{pmatrix}\,\mbox{.}
- \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2+x_1\\ x_1+x_3\\ x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}
Svar \displaystyle F_1
2A. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&2&-3\\0&1&1\\-5&5&-4\end{pmatrix}
2B. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom
Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1&-1&3\\-1&2&-1\\2&0&5\end{pmatrix}
3A. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1-x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.
Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}
3B. Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2-x_3=0 i \displaystyle {\bf E}^3. Ange \displaystyle F:s matris i standardbasen.
Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}
4A. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:
- rotation ett halvt varv i positiv led.
- rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i negatitv led.
Svar
1.\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
2.\displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
4B. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:
- rotation ett varv i positiv led.
- rotation vinkeln \displaystyle \pi/3 i negatitv led.
Svar
1.\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
2.\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&\sqrt3\\\sqrt3&1\end{pmatrix}
5A. Låt \displaystyle F vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}. Låt sedan \displaystyle G vara en spegling i samma plan vars matris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1\end{pmatrix}. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet.
Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}
5B Låt \displaystyle F vara en ortogonalprojektion på ett plan vars avbildningsmatris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}. Låt sedan \displaystyle G vara en spegling i samma plan vars matris är \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}. Beräkna den matris som först ortogonalprojecerar i planet och därefter utför en spegling i planet.
Svar \displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&1\\-1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}
