SamverkanLinalgLIU

Versionen från 7 november 2008 kl. 15.39 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 7 november 2008 kl. 15.52 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 43:		Rad 43:
-	Svar <math>\begin{pmatrix}-5&0\\5&2\end{pmatrix}</math>	+	Svar <math>\begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}</math>

---

Versionen från 7 november 2008 kl. 15.52

6a. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1& 4& 6\\ 2& 5& 9\\ 3& 6& 12\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F)
2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(2,1,-1)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(1,2,3)^t,(4,5,6)^t].

6b. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 2& 2\\ 1& 4& 3\\ 5& 5& 5\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F)
2. Bestäm \displaystyle V(F).

Svar 1. \displaystyle N(F)=[(1,2,-3)^t], 2. \displaystyle V(F)=[(2,1,5)^t,(2,4,5)^t].

7a. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 & &&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

7b. Sambandet mellan två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} ges av

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&&&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2&&\\

\boldsymbol{f}_3&=&&&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\end{array}\right.

Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}

8a. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 2\\ 3& -4\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}0&-1\\-2&5\end{pmatrix}

8b. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\left(\begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 4\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Svar \displaystyle \begin{pmatrix}5&2\\1&0\end{pmatrix}

9a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}.

9b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle 2x_1+x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Svar \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}.

10a. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle \pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&8&-1\\-4&1&-8\\-7&4&4\end{pmatrix}.

10b. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en rotation vinkeln \displaystyle 3\pi/2 i positiv led runt en axel parallell med vektorn \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3

Svar \displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4&-4&7\\8&1&4\\-1&-8&4\end{pmatrix}.