|
|
Rad 1: |
Rad 1: |
- | :*Vi visar att <math>F_1</math> inte är linjär genom att visa att <math>F_1</math> inte är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är | + | :*1. Vi undersöker om $G$ är homogen. |
- | <math>\lambda\boldsymbol{u}=(\lambda x_1)\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2</math>. Då gäller att
| + | Låt <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X</math>. Då är |
- | <center><math>\begin{align}
| + | <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2+\lambda x_3\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X</math> och |
- | F_1(\lambda\boldsymbol{u})&=F_1(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2x_2)=(\lambda x_2)^2\boldsymbol{e}_1+(\lambda x_2)\boldsymbol{e}_2\\
| + | <center><math>G(\lambda\boldsymbol{u})=\underline{\boldsymbol{e}}\rvektc{\lambda x_1\lambda x_2}{(\lambda x_2)^2}{\lambda x_2+\lambda x_3} |
- | &=\lambda(\lambda x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)\neq\lambda(x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2)=\lambda F_1(\boldsymbol{u}).
| + | =\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}{\lambda x_1x_2}{\lambda x_2^2}{x_2+x_3}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</math></center> |
- | \end{align}</math></center>
| + | :*2. Vi behöver inte fortsätta och undersöka om <math>G</math> är additiv. |
- | Alltså är <math>F_1(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda F_1(\boldsymbol{u})</math>. Man kan också visa att <math>F_1</math> inte är additiv.
| + | Eftersom <math>G</math> inte är homogen så är den inte heller linjär. |
- | :*1. Vi visar först att <math>F_2</math> är additiv. Låt <math>\boldsymbol{u}_1=a_1\boldsymbol{e}_1+b_1\boldsymbol{e}_2</math> och <math>\boldsymbol{u}=a_2\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2</math>. Då är <center><math>\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2=(a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2.</math></center>
| + | |
- | Vi får att
| + | |
- | <center><math>F_2(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=F_2((a_1+a_2)\boldsymbol{e}_1+(b_1+b_2)\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)}{a_1+a_2}.</math></center> | + | |
- | Av räknelagarna för matriser följer nu att <center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_1+b_1}{a_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{a_2+b_2}{a_2} =F_2(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
| + | |
- | 2. Vi visar nu att <math>F_2</math> är homogen. Om <math>\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>, så är <math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2</math>. | + | |
- | Då är
| + | |
- | <center><math>F_2(\lambda\boldsymbol{u})=F(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)
| + | |
- | =\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{\lambda x_1+\lambda x_2}{\lambda x_1} =\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\dbinom{x_1+x_2}{x_1}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
| + | |
- | Alltså är <math>F_2</math> linjär.
| + | |
- | :*c) Eftersom
| + | |
- | <center><math>F_3(\lambda\boldsymbol{u})=F_3(\lambda x_1\boldsymbol{e}_1+\lambda x_2\boldsymbol{e}_2)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda x_1}\\{1}\end{pmatrix}\neq\lambda\begin{pmatrix}{x_1}\\{1}\end{pmatrix}
| + | |
- | =\lambda F_3(\boldsymbol{u}),</math></center>
| + | |
- | så är <math>F_3</math> inte homogen och därmed inte linjär. | + | |