16. Linjära avbildningar

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
m (Återställt redigeringar av Geoba (användardiskussion); återställd till senaste version av Oweka)
Rad 1: Rad 1:
-
=== Definition av linjär avbildning ===
+
[[Definition av linjär avbildning]]
-
Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
+
[[Matrisframställning]]
-
Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.
+
[[Projektion och spegling]]
 +
 
 +
[[Plan rotation]]
 +
 
 +
[[Rotation i rummet]]
 +
 
 +
[[Sammansatta linjära avbildningar]]
 +
 
 +
[[Nollrum, Värderum och dimensionssatsen]]
 +
 
 +
[[Basbyte]]
 +
 
 +
[[Linjära avbildningar och basbyte]]
 +
 
 +
[[Projektioner och speglingar med basbyte]]
 +
 
 +
[[Rotationer]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== Plan rotation ===
 +
 
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_4.pdf||center]]
'''Övningar'''
'''Övningar'''
-
1. Låt <math>F</math> och <math>G</math> vara avbildningar på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av
+
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> för följande linjära avbildningar:
 +
# rotation ett kvarts varv i positiv led (dvs <math>\boldsymbol{e}_1</math> till <math>\boldsymbol{e}_2</math>).
 +
# rotation vinkeln <math>\pi/6</math> i negatitv led (dvs <math>\boldsymbol{e}_2</math> till <math>\boldsymbol{e}_1</math>).
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>
 
-
Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. Undersök om <math>G</math> är
 
-
linjär.{{#NAVCONTENT:
 
-
Svar|Svar till övning 1|
 
-
Tips 1|Tips 1 till övning 1|
 
-
Tips 2|Tips 2 till övning 1|
 
-
Tips 3|Tips 3 till övning 1|
 
-
Lösning|Lösning till övning 1}}
 
 +
=== Rotation i rummet ===
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_5.pdf||center]]
-
2. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?
+
'''Övningar'''
-
<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad
+
1. Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.
-
{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>
+
<center><math>
 +
A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
 +
A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad
 +
A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)
 +
</math></center>
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 2|
+
Svar|Svar till övning 5|
-
Tips 1|Tips 1 till övning 2|
+
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 2|
+
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
-
Tips 3|Tips 3 till övning 2|
+
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
-
Lösning|Lösning till övning 2}}
+
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger-ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
 +
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>. Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
3. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
+
=== Sammansatta linjära avbildningar ===
-
:*<math>F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2</math>
+
 
-
:*<math>F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)</math>
+
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_6.pdf||center]]
-
:*<math>F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)</math>{{#NAVCONTENT:
+
 
 +
'''Övningar'''
 +
 
 +
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en bas för <math>V</math>, där dim <math> V=2</math>.
 +
Antag att <math>F:V\rightarrow V</math> är en linjär avbildning som uppfyller
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.</math></center>
 +
Bestäm matrisen för <math>F^2</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 3|
Svar|Svar till övning 3|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Rad 44: Rad 93:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
4. Hej
+
 
 +
 
 +
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
 +
 
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_7.pdf||center]]
 +
 
 +
'''Övningar'''
 +
 
 +
 
 +
1. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\boldsymbol{e}</math> ges av matrisen
 +
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>
 +
Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>. Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
-
Svar|Svar till övning 4|
+
Svar|Svar till övning 5|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
Rad 52: Rad 112:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
5. Hej igen nu testar vi.
+
2. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
 +
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>
 +
och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm Visa <math>V(F)\cap N(G)</math>.
{{#NAVCONTENT:
{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 5|
Svar|Svar till övning 5|
Rad 60: Rad 122:
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
=== Matrisframställning ===
+
3. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
 +
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>
 +
Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
4. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen
 +
<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>
 +
Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_2.pdf||center]]
+
5. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom
 +
<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>
 +
# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.
 +
# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> med
 +
<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>
 +
och
 +
<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center>
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
1. Gör övning 17.22.
+
7. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
-
[[Bild:o_linavb.pdf||center]]
+
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
 +
</math></center>
 +
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
8. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
 +
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
 +
</math></center>
 +
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt
+
9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen
 +
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>
 +
som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>
 +
avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>, <math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på
 +
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> resp. <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också <math>V(F)</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
<pre>
 
-
> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);
 
 +
=== Basbyte ===
-
Den första urbilden skriver Du som
+
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_8.pdf||center]]
-
> u1:=matrix(2,1,[3,4]);
+
'''Övningar'''
-
Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden
+
1. Givet två baser <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>. Ange följande bassamband
 +
<center><math>\left\{\begin{array}{rclclcl}
 +
\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\
 +
\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.</math></center>
 +
på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
> v1=multiply(A,u1);
+
2. Givet en bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> i planet. Vi inför en ny bas
-
</pre>
+
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math> genom att sätta
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T</math>, där <math>T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right).</math>
 +
En linje har ekvationen <math>x_1+7x_2=0</math> i den gamla basen.
 +
Vad är dess ekvationen i den nya basen?
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
Räknar Maple rätt?
 
-
Kontrollera nu den andra urbilden!
 
 +
 +
 +
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
 +
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_9.pdf||center]]
 +
 +
'''Övningar'''
 +
 +
1. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> har matrisen
 +
<center><math>A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right). </math></center>
 +
Ange <math>F</math>:s matris <math>A_{\boldsymbol{f}}</math> i basen
 +
<center><math>\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> var en bas i rummet och <math>F</math> en linjär avbildning med matrisen
 +
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 +
i denna bas. Vad är matrisen för <math>F</math> i den bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> som ges av
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.</math></center>
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
3. Avbildningen <math>F</math> har i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> matrisen
 +
<center><math>A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right). </math></center>
 +
Bestäm <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.</math></center>
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
4. Antag att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas i <math>{\bf R}^3</math> och låt den linjära avbildningen
 +
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> definieras genom
 +
<center><math>
 +
F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad
 +
F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad
 +
F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 +
Bestäm matrisen till <math>F</math> med avseende på basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math>, där
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad
 +
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad
 +
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.</math></center>
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
5. Visa att matriserna
 +
<center><math>
 +
A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad
 +
B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)</math></center>
 +
ej kan representera samma linjära avbildning <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
-
<math> \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}</math>
 
-
=== Projektion och spegling ===
 
-
=== Plan rotation ===
 
-
=== Rotation i rummet ===
 
-
=== Sammansatta linjära avbildningar ===
 
-
=== Nollrum, Värderum och dimensionssatsen ===
 
-
=== Basbyte ===
 
-
=== Linjära avbildningar och basbyte ===
 
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
=== Projektioner och speglingar med basbyte ===
 +
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_10.pdf||center]]
 +
 +
'''Övningar'''
 +
 +
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara ortogonal projektion på linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
2. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en ON-bas i planet.
 +
Inför en ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\}</math>
 +
genom
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Låt <math>F</math> vara spegling i linjen <math>x_1+2x_2=0</math>. Ange <math>F</math>:s matris i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>
 +
och beräkna med hjälp av bassambandet <math>F</math>:s matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
3. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en ON-bas i rummet och låt <math>F</math> vara en ortogonal projektion på planet
 +
<math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Välj en lämplig ny bas <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> och ange <math>F</math>:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}
 +
 +
 +
=== Rotationer ===
=== Rotationer ===
 +
 +
Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_11.pdf||center]]
 +
 +
'''Övningar'''
 +
 +
 +
1. Låt <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> vara en höger ON-bas i rummet och <math>F</math> rotation <math>2\pi/3</math> i positiv led runt
 +
<math>\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3</math>.
 +
Beräkna avbildningens matris i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math>.
 +
{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 5|
 +
Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
 +
Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|
 +
Tips 3|Tips 3 till övning 17.21|
 +
Lösning|Lösning till övning 17.21}}

Versionen från 15 augusti 2008 kl. 10.12

Definition av linjär avbildning

Matrisframställning

Projektion och spegling

Plan rotation

Rotation i rummet

Sammansatta linjära avbildningar

Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Basbyte

Linjära avbildningar och basbyte

Projektioner och speglingar med basbyte

Rotationer





Innehåll

Plan rotation

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 4.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Bestäm matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} för följande linjära avbildningar:

  1. rotation ett kvarts varv i positiv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_1 till \displaystyle \boldsymbol{e}_2).
  2. rotation vinkeln \displaystyle \pi/6 i negatitv led (dvs \displaystyle \boldsymbol{e}_2 till \displaystyle \boldsymbol{e}_1).


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21


Rotation i rummet

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 5.pdf

Övningar

1. Givet en höger ON-bas i rummet. Följande matriser definierar linjära avbildningar i rummet. Beskriv geometriskt vad dessa gör.

\displaystyle

A_1=\left(\begin{array}{rrr} 1&0 & 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_2=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\qquad A_3=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& \cos\theta& -\sin\theta\\ 0& \sin\theta& \cos\theta\end{array}\right)


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21


2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger-ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

Sammansatta linjära avbildningar

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 6.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V, där dim \displaystyle V=2. Antag att \displaystyle F:V\rightarrow V är en linjär avbildning som uppfyller

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Bestäm matrisen för \displaystyle F^2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 3
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21


Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 7.pdf

Övningar


1. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i basen \displaystyle \boldsymbol{e} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

2. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)

och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm Visa \displaystyle V(F)\cap N(G).


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

3. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).

Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

4. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen

\displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).

Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

5. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom

\displaystyle F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).
  1. Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
  2. Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F)


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

6. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med

\displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t]

och

\displaystyle V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

7. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

8. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t resp. \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också \displaystyle V(F).


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21


Basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 8.pdf

Övningar

1. Givet två baser \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}. Ange följande bassamband

\displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=& & &\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&\end{array}\right.

på matrisform. Ange också det omvända bassambandet samt koordinatsambanden.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

2. Givet en bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} i planet. Vi inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom att sätta \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\underline{\boldsymbol{e}}T, där \displaystyle T=\left(\begin{array}{rr} 2& 3\\ 1& 2\end{array}\right). En linje har ekvationen \displaystyle x_1+7x_2=0 i den gamla basen. Vad är dess ekvationen i den nya basen?


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21



Linjära avbildningar och basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf

Övningar

1. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow{\bf R}^2 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} har matrisen

\displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).

Ange \displaystyle F:s matris \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i basen

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.

Ange också sambandet mellan koordinaterna i de båda baserna.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} var en bas i rummet och \displaystyle F en linjär avbildning med matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

i denna bas. Vad är matrisen för \displaystyle F i den bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} som ges av

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

3. Avbildningen \displaystyle F har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 2& 2& 1\end{array}\right).

Bestäm \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} om

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

4. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas i \displaystyle {\bf R}^3 och låt den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 definieras genom

\displaystyle

F(\boldsymbol{e}_1)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3\qquad

F(\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.

Bestäm matrisen till \displaystyle F med avseende på basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}, där

\displaystyle

\boldsymbol{f}_1=\boldsymbol{e}_1\qquad \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

5. Visa att matriserna

\displaystyle

A=\left(\begin{array}{rrr} 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\qquad och\qquad

B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 3\end{array}\right)

ej kan representera samma linjära avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21



Projektioner och speglingar med basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara ortogonal projektion på linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

2. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en ON-bas i planet. Inför en ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2\} genom

\displaystyle

\left\{\begin{array}{lcl}\boldsymbol{f}_1&=&\frac{1}{\sqrt5}(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2)\\ \boldsymbol{f}_2&=&\frac{1}{\sqrt5}(2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Låt \displaystyle F vara spegling i linjen \displaystyle x_1+2x_2=0. Ange \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och beräkna med hjälp av bassambandet \displaystyle F:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21

3. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt \displaystyle F vara en ortogonal projektion på planet \displaystyle x_1+x_2+x_3=0. Välj en lämplig ny bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och ange \displaystyle F:s matris i denna. Beräkna med hjälp av bassambanden matrisen i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21


Rotationer

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf

Övningar


1. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en höger ON-bas i rummet och \displaystyle F rotation \displaystyle 2\pi/3 i positiv led runt \displaystyle \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. Beräkna avbildningens matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.


Svar
Svar till övning 5
Tips 1
Tips 1 till övning 17.21
Tips 2
Tips 2 till övning 17.21
Tips 3
Tips 3 till övning 17.21
Lösning
Lösning till övning 17.21
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16._Linj%C3%A4ra_avbildningar