Lösning till övning 3

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: Låt <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{a_1}{b_1}{c_1}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}{e}X_2=\underline{\boldsymb...)
Nuvarande version (15 augusti 2008 kl. 08.45) (redigera) (ogör)
 
(37 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
-
Låt <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{a_1}{b_1}{c_1}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}{e}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{a_2}{b_2}{c_2}</math>.
+
Låt <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}</math> och <math>\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}</math>.
-
Vi behöver summan
+
Vi behöver summan
-
<center><math>\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{a_1}{b_1}{c_1}+\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{a_2}{b_2}{c_2}=\underline{\boldsymbol{e}}{e}\rvekt{a_1+a_2}{b_1+b_2}{c_1+c_2}</center></math>
+
<center><math>\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1+a_2}\\{b_1+b_2}\\{c_1+c_2}\end{pmatrix}</math></center>
-
och
+
och
-
<center><math>\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}{e}\rvekt{a_1}{b_1}{c_1}=\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{\lambda a_1}{\lambda b_1}{\lambda c_1}.</center></math>
+
<center><math>
-
Avbildningen <math>G</math> är inte linjär, ty
+
\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda
-
<center><math>1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</center></math>
+
a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda
-
T.ex., följer av~(\ref{C445}) att
+
c_1}\end{pmatrix}.
-
<center><math>G(\lambda\boldsymbol{u})=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\rvekt{\lambda a_1}{\lambda b_1}{\lambda c_1}\right)
+
</math></center>
-
=\underline{\boldsymbol{e}}\rvektc{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}{\lambda^2b_1^2}{\lambda b_1+\lambda c_1}
+
Avbildningen <math>G</math> är inte linjär, ty
-
=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\rvektc{\lambda a_1c_1}{\lambda b_1^2}{b_1+c_1}\neq \lambda G(\boldsymbol{u}).</center></math>
+
<center><math>1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).</math></center>
 +
T.ex., följer att
 +
 
 +
<center><math>
 +
\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\
 +
&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}</math></center>

Nuvarande version

Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}X_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}X_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}. Vi behöver summan

\displaystyle \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_2}\\{b_2}\\{c_2}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1+a_2}\\{b_1+b_2}\\{c_1+c_2}\end{pmatrix}

och

\displaystyle

\lambda\boldsymbol{u}=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{a_1}\\{b_1}\\{c_1}\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}.

Avbildningen \displaystyle G är inte linjär, ty

\displaystyle 1.\quad G(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\neq G(\boldsymbol{u})+G(\boldsymbol{v})\qquad\qquad 2.\quad G(\lambda\boldsymbol{u})\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).

T.ex., följer att

\displaystyle

\begin{align}G(\lambda\boldsymbol{u})&=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=G\left(\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1}\\{\lambda b_1}\\{\lambda c_1}\end{pmatrix}\right)=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1\cdot\lambda c_1}\\{\lambda^2b_1^2}\\{\lambda b_1+\lambda c_1}\end{pmatrix}\\

&=\lambda\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}{\lambda a_1c_1}\\{\lambda b_1^2}\\{b_1+c_1}\end{pmatrix}\neq\lambda G(\boldsymbol{u}).\end{align}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3