Lösning Trashovn1a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (25 mars 2010 kl. 18.47) (redigera) (ogör)
 
(15 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 17: Rad 17:
<center><math>\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}. </math> </center>
<center><math>\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}. </math> </center>
Vi multiplicerar in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriver systemet på matrisform:
Vi multiplicerar in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriver systemet på matrisform:
-
<center><math>\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\rvekt41{-5}\Leftrightarrow
+
<center><math>\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&1\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&-5\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&1\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&-5\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\Leftrightarrow
-
\left(\begin{tabular}{rr|r}2&1&$4$\\1&1&$1$\\$-1$&1&$-5$\end{tabular}\right). </math>
+
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -5\end{array}\right).</math></center>
-
</center>
+
Systemet har lösningen <math>\lambda_1=3</math> och
 +
<math>\lambda_2=-2</math>. Alltså är <math>\boldsymbol{u}_1=3\boldsymbol{v}_1 -2\boldsymbol{v}_2 </math> en linjärkombination av
 +
<math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>, dvs <math>\boldsymbol{u}_1</math> är inom
 +
räckhåll för <math>\boldsymbol{v}_1 </math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> och ligger därför i samma plan som spänns upp av
 +
<math>\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}</math>.

Nuvarande version

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att

\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}.

Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:

\displaystyle \begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 
       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&1\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&-5\end{array}\right.
       \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -5\end{array}\right).

Systemet har lösningen \displaystyle \lambda_1=3 och \displaystyle \lambda_2=-2. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_1=3\boldsymbol{v}_1 -2\boldsymbol{v}_2 en linjärkombination av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är inom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför i samma plan som spänns upp av \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/L%C3%B6sning_Trashovn1a