Slaskövning2

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 1: Rad 1:
Vi antar nedan att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.
Vi antar nedan att <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \}</math> och <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.
 +
Rad 19: Rad 20:
3.3
3.3
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
Bestäm en enhetsvektor i <math>yz</math>-planet som är vinkelrät mot vektorn <math>\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}</math>.
 +
 +
Rad 39: Rad 42:
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},</math></center>
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är parallell med vektorn <math>\boldsymbol{v}</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}}</math> är ortogonal mot <math>\boldsymbol{v}</math>.
 +
 +
 +
3.7
3.7
Rad 52: Rad 58:
\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math></center>
\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}</math></center>
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
kan skrivas som en linjärkombination i mängden <math>\{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
3.9
 +
Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende
 +
<center><math>{\rm a)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}
 +
qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}</math></center>

Versionen från 6 mars 2010 kl. 19.05

Vi antar nedan att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 \} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} är en bas (ON-bas där det krävs) för planet resp. rummet.


3.1 Vi vet att \displaystyle |\boldsymbol{u}|=3, \displaystyle |\boldsymbol{v}|=4 och \displaystyle |\boldsymbol{u-v}|=5. Beräkna \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.



Svar
Svar till övning 3.1
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 3.1


3.2 För vilka värden på \displaystyle a är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\ -2\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2a\\a\\-4\end{pmatrix} ortogonala?


3.3 Bestäm en enhetsvektor i \displaystyle yz-planet som är vinkelrät mot vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.



3.4 Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.


3.5 Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

  1. Bestäm projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt dess längd, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|.
  2. Bestäm \displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} samt \displaystyle |\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}|.


3.6 Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}. Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}7\\-2\\3\end{pmatrix} som en summa

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är parallell med vektorn \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}.



3.7 Bestäm vinkeln mellan vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} då man vet att \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}+7\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.


3.8 Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

\displaystyle {\rm a)}\ \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}

\qquad{\rm b)}\ \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}

\qquad{\rm c)}\ \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix}

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.



3.9 Avgör vilka av följande följder av rumsvektorer som är linjärt oberoende

\displaystyle {\rm a)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} qquad{\rm b)}\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask%C3%B6vning2