Slask dugga 5

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (29 november 2009 kl. 12.03) (redigera) (ogör)
 
(16 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 25: Rad 25:
Svar: <math>k=2</math>
Svar: <math>k=2</math>
 +
 +
 +
3a. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen <math>F</math> som har matrisen
 +
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right).</math></center>
 +
 +
Svar: <math>\lambda_1=1</math>, <math>\boldsymbol{v}_1=(-3,0,1)^t</math>
 +
 +
<math>\lambda_2=2</math>, <math>\boldsymbol{v}_2=(1,0,0)^t</math>
 +
<math>\lambda_3=3</math>, <math>\boldsymbol{v}_3=(1,1,0)^t</math>
 +
 +
 +
3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen <math>F</math> som har matrisen
 +
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&4\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right).</math></center>
 +
 +
Svar: <math>\lambda_1=-1</math>, <math>\boldsymbol{v}_1=(-1,0,1)^t</math>
 +
 +
<math>\lambda_2=2</math>, <math>\boldsymbol{v}_2=(1,1,0)^t</math>
 +
<math>\lambda_3=3</math>, <math>\boldsymbol{v}_3=(1,0,0)^t</math>
 +
 +
 +
4a. Ange den <math>3\times3</math> matris som har egenvärden <math>\lambda_1=-4</math>, <math>\lambda_2=-3</math> och <math>\lambda_3=0</math> hörande till egenvektorerna
 +
<math>\boldsymbol{v}_ 1=(1,-1,0)^t</math>, <math>\boldsymbol{v}_ 2=(1,1,1)^t</math> resp. <math>\boldsymbol{v}_ 3=(1,1,0)^t</math>.
 +
 +
Svar: <math>\left(\begin{array}{rrr}{-2}&{2}&{-3}\\{2}&{-2}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\end{array}\right)</math>
 +
 +
 +
4b. Ange den <math>3\times3</math> matris som har egenvärden <math>\lambda_1=2</math>, <math>\lambda_2=4</math> och <math>\lambda_3=6</math> hörande till egenvektorerna
 +
<math>\boldsymbol{v}_ 1=(1,-1,0)^t</math>, <math>\boldsymbol{v}_ 2=(1,1,0)^t</math> resp. <math>\boldsymbol{v}_ 3=(1,1,-2)^t</math>.
 +
 +
var: <math>\left(\begin{array}{rrr}{3}&{1}&{-1}\\{1}&{3}&{-1}\\{0}&{0}&{6}\end{array}\right)</math>

Nuvarande version

1a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}13&-4&2\\-4&k&-2\\2&-2&10\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=13


1b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}22&-10&8\\-10&k&-2\\8&-2&16\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=25


2a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&-2&-1\\-2&k&-2\\-1&-2&2\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=-1


2b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&2\\1&k&-2\\2&-2&-1\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=2


3a. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-3,0,1)^t

\displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0)^t \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,1,0)^t


3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&4\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=-1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-1,0,1)^t

\displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,1,0)^t \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,0,0)^t


4a. Ange den \displaystyle 3\times3 matris som har egenvärden \displaystyle \lambda_1=-4, \displaystyle \lambda_2=-3 och \displaystyle \lambda_3=0 hörande till egenvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_ 1=(1,-1,0)^t, \displaystyle \boldsymbol{v}_ 2=(1,1,1)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_ 3=(1,1,0)^t.

Svar: \displaystyle \left(\begin{array}{rrr}{-2}&{2}&{-3}\\{2}&{-2}&{-3}\\{0}&{0}&{-3}\end{array}\right)


4b. Ange den \displaystyle 3\times3 matris som har egenvärden \displaystyle \lambda_1=2, \displaystyle \lambda_2=4 och \displaystyle \lambda_3=6 hörande till egenvektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_ 1=(1,-1,0)^t, \displaystyle \boldsymbol{v}_ 2=(1,1,0)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_ 3=(1,1,-2)^t.

var: \displaystyle \left(\begin{array}{rrr}{3}&{1}&{-1}\\{1}&{3}&{-1}\\{0}&{0}&{6}\end{array}\right)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask_dugga_5