SamverkanLinalgLIU

Versionen från 29 november 2009 kl. 11.15 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 29 november 2009 kl. 11.20 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 36:		Rad 36:
	3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen <math>F</math> som har matrisen		3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen <math>F</math> som har matrisen
-	<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right).</math></center>	+	<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&4\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right).</math></center>
		+
		+	Svar: <math>\lambda_1=-1</math>, <math>\boldsymbol{v}_1=(-1,0,1)^t</math>
		+	<math>\lambda_2=2</math>, <math>\boldsymbol{v}_2=(1,1,0)^t</math>
		+	<math>\lambda_3=3</math>, <math>\boldsymbol{v}_3=(1,0,0)^t</math>

---

Versionen från 29 november 2009 kl. 11.20

1a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}13&-4&2\\-4&k&-2\\2&-2&10\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=13

1b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}22&-10&8\\-10&k&-2\\8&-2&16\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 blir en egenvektor till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=25

2a. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&-2&-1\\-2&k&-2\\-1&-2&2\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=-1

2b. En linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&2\\1&k&-2\\2&-2&-1\end{array}\right).

Bestäm konstanten \displaystyle k så att \displaystyle \lambda=-3 blir ett egenvärde till \displaystyle F.

Svar: \displaystyle k=2

3a. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-3,1,0)^t

        \displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0)^t
        \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,1,0)^t

3b. Bestäm egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildningen \displaystyle F som har matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}3&-1&4\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right).

Svar: \displaystyle \lambda_1=-1, \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(-1,0,1)^t

        \displaystyle \lambda_2=2, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,1,0)^t
        \displaystyle \lambda_3=3, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(1,0,0)^t