Slask dugga 3

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (9 november 2009 kl. 14.54) (redigera) (ogör)
 
(8 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 32: Rad 32:
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center>
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center>
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math>
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math>
 +
 +
svar: <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t</math>,
 +
<math>\boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t</math>
 +
 +
 +
3b. Sätt
 +
<center><math>W=[(1,-1,1,-1)^t,(3,1,3,1)^t,(5,-3,-1,3)^t]\subset{\bf E}^4. </math></center>
 +
Dela upp <math>\boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t</math> i
 +
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center>
 +
där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math>
 +
 +
svar: <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t</math>,
 +
<math>\boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t</math>
 +
 +
 +
4a. Bestäm avståndet från punkten <math>(1,2,3,4)</math> till
 +
<center><math>W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center>
 +
 +
svar: avståndet är 1 l.e.
 +
 +
 +
4b. Bestäm avståndet från punkten <math>(3,-1,-1,-1)</math> till
 +
<center><math>W=[(1,-1,-1,1)^t,(5,1,-5,-1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center>
 +
 +
svar: avståndet är 2 l.e.
 +
 +
 +
5a. Ange den linje <math>y=kx+m</math> som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna <math>(-1,2)</math>, <math>(1,-1)</math> och <math>(3,5)</math>.
 +
 +
svar: <math>y=\frac{3}{4}k+\frac{5}{4}</math>.
 +
 +
 +
5b. Ange den linje <math>y=kx+m</math> som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna <math>(-2,1)</math>, <math>(2,-1)</math> och <math>(3,6)</math>.
 +
 +
svar: <math>y=\frac{4}{7}k+\frac{10}{7}</math>.

Nuvarande version

Underlag för dugga 3

1a. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\\10\end{pmatrix}


1b. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\6\\-3\\-1\end{pmatrix}


2a. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

\displaystyle U=[(3,-1,0)^t,(4,-1,1)^t]

och

\displaystyle V=[(1,-4,-1)^t,(1,4,3)^t]

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,0,1)]^t

2b. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

\displaystyle U=[(3,3,1)^t,(1,-4,2)^t]

och

\displaystyle V=[(2,1,4)^t,(4,-1,6)^t]

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,-1,1)]^t


3a. Sätt

\displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(3,-1,-1,3)^t,(5,3,-3,-1)^t]\subset{\bf E}^4.

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t i

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t


3b. Sätt

\displaystyle W=[(1,-1,1,-1)^t,(3,1,3,1)^t,(5,-3,-1,3)^t]\subset{\bf E}^4.

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t i

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t


4a. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (1,2,3,4) till

\displaystyle W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.

svar: avståndet är 1 l.e.


4b. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (3,-1,-1,-1) till

\displaystyle W=[(1,-1,-1,1)^t,(5,1,-5,-1)^t]\subset{\bf E}^4.

svar: avståndet är 2 l.e.


5a. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-1,2), \displaystyle (1,-1) och \displaystyle (3,5).

svar: \displaystyle y=\frac{3}{4}k+\frac{5}{4}.


5b. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-2,1), \displaystyle (2,-1) och \displaystyle (3,6).

svar: \displaystyle y=\frac{4}{7}k+\frac{10}{7}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Slask_dugga_3