Slask dugga 3
SamverkanLinalgLIU
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 31: | Rad 31: | ||
Dela upp <math>\boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t</math> i | Dela upp <math>\boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t</math> i | ||
<center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center> | <center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center> | ||
| - | där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och </math></center>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math> | + | där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math> |
| + | |||
| + | svar: <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t</math>, | ||
| + | <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 3b. Sätt | ||
| + | <center><math>W=[(1,-1,1,-1)^t,(3,1,3,1)^t,(5,-3,-1,3)^t]\subset{\bf E}^4. </math></center> | ||
| + | Dela upp <math>\boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t</math> i | ||
| + | <center><math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},</math></center> | ||
| + | där <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W</math> och <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.</math> | ||
| + | |||
| + | svar: <math>\boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t</math>, | ||
| + | <math>\boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 4a. Bestäm avståndet från punkten <math>(1,2,3,4)</math> till | ||
| + | <center><math>W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center> | ||
| + | |||
| + | svar: avståndet är 1 l.e. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 4b. Bestäm avståndet från punkten <math>(3,-1,-1,-1)</math> till | ||
| + | <center><math>W=[(1,-1,-1,1)^t,(5,1,-5,-1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center> | ||
| + | |||
| + | svar: avståndet är 2 l.e. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 5a. Ange den linje <math>y=kx+m</math> som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna <math>(-1,2)</math>, <math>(1,-1)</math> och <math>(3,5)</math>. | ||
| + | |||
| + | svar: <math>y=\frac{3}{4}k+\frac{5}{4}</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 5b. Ange den linje <math>y=kx+m</math> som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna <math>(-2,1)</math>, <math>(2,-1)</math> och <math>(3,6)</math>. | ||
| + | |||
| + | svar: <math>y=\frac{4}{7}k+\frac{10}{7}</math>. | ||
Nuvarande version
Underlag för dugga 3
1a. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.
svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\\10\end{pmatrix}
1b. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.
svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\6\\-3\\-1\end{pmatrix}
2a. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om
och
svar: \displaystyle U\cap V=[(1,0,1)]^t
2b. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om
och
svar: \displaystyle U\cap V=[(1,-1,1)]^t
3a. Sätt
Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t i
där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.
svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t
3b. Sätt
Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t i
där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.
svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t
4a. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (1,2,3,4) till
svar: avståndet är 1 l.e.
4b. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (3,-1,-1,-1) till
svar: avståndet är 2 l.e.
5a. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-1,2), \displaystyle (1,-1) och \displaystyle (3,5).
svar: \displaystyle y=\frac{3}{4}k+\frac{5}{4}.
5b. Ange den linje \displaystyle y=kx+m som i minsta kvadratmening bäst ansluter till punkterna \displaystyle (-2,1), \displaystyle (2,-1) och \displaystyle (3,6).
svar: \displaystyle y=\frac{4}{7}k+\frac{10}{7}.
