SamverkanLinalgLIU

Versionen från 9 november 2009 kl. 14.45 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 9 november 2009 kl. 14.47 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 49:		Rad 49:
	4a. Bestäm avståndet från punkten <math>(1,2,3,4)</math> till		4a. Bestäm avståndet från punkten <math>(1,2,3,4)</math> till
	<center><math>W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center>		<center><math>W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center>
		+
		+	svar: avståndet är 1 l.e.
		+
		+
		+	4b. Bestäm avståndet från punkten <math>(3,-1,-1,-1)</math> till
		+	<center><math>W=[(1,-1,-1,1)^t,(5,1,-5,-1)^t]\subset{\bf E}^4.</math></center>
		+
		+	svar: avståndet är 2 l.e.

---

Versionen från 9 november 2009 kl. 14.47

Underlag för dugga 3

1a. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\\10\end{pmatrix}

1b. Antag att \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} är en bas för \displaystyle {\bf R}^4. Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\1\\0\end{pmatrix}, \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_4=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\1\end{pmatrix} är en ny bas för \displaystyle {\bf R}^4.Ange koordinaterna för vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\6\\-3\\-1\end{pmatrix}

2a. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

\displaystyle U=[(3,-1,0)^t,(4,-1,1)^t]

och

\displaystyle V=[(1,-4,-1)^t,(1,4,3)^t]

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,0,1)]^t

2b. Ange en bas för \displaystyle U\cap V om

\displaystyle U=[(3,3,1)^t,(1,-4,2)^t]

och

\displaystyle V=[(2,1,4)^t,(4,-1,6)^t]

svar: \displaystyle U\cap V=[(1,-1,1)]^t

3a. Sätt

\displaystyle W=[(1,1,1,1)^t,(3,-1,-1,3)^t,(5,3,-3,-1)^t]\subset{\bf E}^4.

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(4,2,3,4)^t i

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{4}(15,9,11,17)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{4}(1,-1,1,-1)^t

3b. Sätt

\displaystyle W=[(1,-1,1,-1)^t,(3,1,3,1)^t,(5,-3,-1,3)^t]\subset{\bf E}^4.

Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=((5,2,3,2)^t i

\displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W},

där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp}.

svar: \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}=\frac{1}{2}(9,3,7,5)^t, \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t

4a. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (1,2,3,4) till

\displaystyle W=[(1,1,-1,-1)^t,(5,5,1,1)^t]\subset{\bf E}^4.

svar: avståndet är 1 l.e.

4b. Bestäm avståndet från punkten \displaystyle (3,-1,-1,-1) till

\displaystyle W=[(1,-1,-1,1)^t,(5,1,-5,-1)^t]\subset{\bf E}^4.

svar: avståndet är 2 l.e.