SamverkanLinalgLIU

Versionen från 27 juni 2008 kl. 21.34 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 27 juni 2008 kl. 21.50 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 1:		Rad 1:
	=== Definition av linjär avbildning ===		=== Definition av linjär avbildning ===
-	Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]	+	{\color{Magenta}Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning} [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]
	Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.		Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

---

Versionen från 27 juni 2008 kl. 21.50

Innehåll 1 Definition av linjär avbildning 2 Matrisframställning 3 Projektion och spegling 4 Plan rotation 5 Rotation i rummet 6 Sammansatta linjära avbildningar 7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen 8 Basbyte 9 Linjära avbildningar och basbyte 10 Projektioner och speglingar med basbyte 11 Rotationer

Definition av linjär avbildning

{\color{Magenta}Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning} Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.

• \displaystyle F_1(\boldsymbol{e}_1x_1+\boldsymbol{e}_2x_2)=x_2^2\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2
• \displaystyle F_2(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1+x_2}\\{x_1}\end{array}\right)
• \displaystyle F_3(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{1}\end{array}\right)

2. Låt \displaystyle F och \displaystyle G vara avbildningar på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A. Undersök om \displaystyle G är linjär.

3. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad {\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

Matrisframställning

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf

Övningar

1. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Bestäm matrisen för den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^2\rightarrow:{\bf R}^2, sådan att

\displaystyle F(3\boldsymbol{e}_1+4\boldsymbol{e}_2)=5\boldsymbol{e}_1+6\boldsymbol{e}_2,\qquad F(2\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)=7\boldsymbol{e}_1+8\boldsymbol{e}_2

2. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} definieras genom

\displaystyle F(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3,\qquad F(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+5\boldsymbol{e}_3.

3. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 har i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&2\\5&-1&0\\4&0&-2\end{array}\right)

Bestäm bilden \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 2\\-1 \\ 3\end{array}\right) under \displaystyle F. Ange urbilden till \displaystyle \boldsymbol{v}=2\boldsymbol{e}_1+5\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3 under \displaystyle F.

4. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle {\color{Blue}F}:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av

\displaystyle F(x_1,x_2,x_3)=(5x_1+2x_2+4x_3,2x_1+x_2+x_3,4x_1+x_2+6x_3)

1. Visa att \displaystyle F är linjär.
2. Bestäm \displaystyle F^{-1}:s matris i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}

5. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V$, där dim $V=2$. Ange matrisen för den linjära avbildning, \displaystyle F, som byter plats på \displaystyle \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2 och \displaystyle 2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2. Bestäm sedan vektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1, \displaystyle \boldsymbol{f}_2 sådan att \displaystyle F(\boldsymbol{f}_1)=\boldsymbol{f}_1 och \displaystyle F(\boldsymbol{f}_2)=-\boldsymbol{f}_2. Välj \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{f}_2\} som bas. Ange \displaystyle F:s matris i denna bas.

6. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en ON-bas i rummet och låt

\displaystyle F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a},

där \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+2\boldsymbol{e}_3.

1. Bestäm \displaystyle F:s matris i denna bas.
2. Vektorerna

\displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{3}\boldsymbol{a},\qquad\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3),\qquad \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{3}(2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3). utgör en ny bas. Bestäm \displaystyle F:s matris i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=$\backslash \{\backslash boldsymbol\{f\}\_1,\; \backslash boldsymbol\{f\}\_2,\backslash boldsymbol\{f\}\_3\backslash \}$

7. Låt \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} vara en bas för \displaystyle V, där dim \displaystyle V=2. Antag att \displaystyle F:V\rightarrow V är en linjär avbildning som uppfyller

\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr}F(\boldsymbol{e}_1)&=&\frac{1}{\sqrt2}(\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\\ F(\boldsymbol{e}_2)&=&\frac{1}{\sqrt2}(-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2)\end{array}\right.

Bestäm matrisen för \displaystyle F^2 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}.

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);


Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

Projektion och spegling

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 3.pdf

Övningar

1. Hej

Plan rotation

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 4.pdf

Övningar

1. Hej

Rotation i rummet

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 5.pdf

Övningar

1. Hej

Sammansatta linjära avbildningar

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 6.pdf

Övningar

1. Hej

Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 7.pdf

Övningar

1. Hej

Basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 8.pdf

Övningar

1. Hej

Linjära avbildningar och basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 9.pdf

Övningar

1. Hej

Projektioner och speglingar med basbyte

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 10.pdf

Övningar

1. Hej

Rotationer

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 11.pdf

Övningar

1. Hej