Processing Math: Done

SamverkanLinalgLIU

Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.

Du kan se och kopiera sidans wikikod:

<div class="ovning"> ===Övning 22.1=== Låt <math> O\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3 </math> vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver a) ortogonal projektion i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math> b) spegling i planet <math> x_1+x_2+x_3=0 </math> c) vridning <math> \pi/2 </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math> d) vridning <math> \pi </math> kring <math> \boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3 </math> </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.1a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.1b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.1c |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.1d}} <div class="ovning"> ===Övning 22.2=== Låt <math> F </math> vara en linjär avbildning på rummet med matrisen <math> A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\-2&0&1\\2&2&1\end{array}\right) </math>. a) Visa att <math>\lambda_1=1 </math> är ett egenvärde med tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) </math> till <math> F </math>. b) Visa att <math>\boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r}0\\-1\\1\end{array}\right) </math> är en egenvektor till <math> F </math>. Bestäm tillhörande egenvärde <math>\lambda_2 </math>. c) Visa att <math>\lambda_3=2 </math> är ett egenvärde till <math> F </math> och bestäm tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_3 </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.2a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.2b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.2c}} <div class="ovning"> ===Övning 22.3=== Antag att <math> F </math> är en linjär avbildning i rummet som har matrisen <center><math> \left( \begin{array}{rrr} 3& 1&0 \\ 0&3& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right). </math></center> a) Bestäm egenvärdena till <math> F </math>. b) Bestäm egenrummen till <math> F </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.3a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.3b}} <div class="ovning"> ===Övning 22.4=== Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math> av egenvektorer till matrisen <center><math> \left(\begin{array}{rrr} -9& -4& -5\\ -3& 8& -5\\ -3& -4& 7\end{array}\right). </math></center> </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.4|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.4}} <div class="ovning"> ===Övning 22.5=== Avbildningen <math> F:{\bf R^3}\rightarrow{\bf R^3} </math> ges i basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen <math> \left(\begin{array}{rrr} -1& 2& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& -1\end{array}\right) </math>. Bestäm en bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}} <div class="ovning"> ===Övning 22.6=== Låt <math> \underline{\boldsymbol{e}} =\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> vara en bas för rummet. En linjär avbildning <math> F </math> på rummet ges av <center><math> F(\boldsymbol{e}_1)=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_2)=\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2,\qquad F(\boldsymbol{e}_3)=3\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3. </math></center> Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till <math> F </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.5|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.5}} <div class="ovning"> ===Övning 22.7=== Avbildningen <math> F </math> ges i plan ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen <math> \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) </math>. Bestäm egenvärden och egenvektorer till <math> F </math>. Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm <math> F </math>:s matris i denna bas. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.7|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.7}} <div class="ovning"> ===Övning 22.8=== Avgör om nedanstående matriser är diagonaliserbara och bestäm i så fall en matris <math> T </math> sådan att <math> T^{-1}AT </math> är en diagonalmatris: {| width="100%" cellspacing="10px" |a) |width="33%" | <math> A=\left(\begin{array}{rrr} -3&-1&-1\\8&2&1\\-2&0&1\end{array}\right) </math> |b) |width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} 1&-3&4\\4&-7&8\\6&-7&7\end{array}\right) </math> |c) |width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} -1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{array}\right)</math> |} {| width="100%" cellspacing="10px" |d) |width="33%" | <math> A=\left(\begin{array}{rrr} 1&3&3\\3&1&3\\-3&-3&-5\end{array}\right) </math> |e) |width="33%" | <math> A= \left(\begin{array}{rrr} 3&-4&-4\\-1&3&2\\2&-4&-3\end{array}\right) </math> | |width="33%" | |} </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.8|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.8a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.8b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.8c |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.8d |Tips och lösning till e)|Tips och lösning till U 22.8e}} <div class="ovning"> ===Övning 22.9=== Undersök diagonaliserbarheten hos matriserna {| width="100%" cellspacing="10px" |a) |width="50%" | <math>\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}</math> |b) |width="50%" | <math>\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}</math> |} </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.9|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.9a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.9b}} <div class="ovning"> ===Övning 22.10=== Den symmetriska avbildningen <math> F:{\bf E^3}\rightarrow{\bf E^3} </math> ges i en ON-bas <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> av matrisen <center><math> \left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\2 & 2& 2\\ 3& 2& 1\end{array}\right). </math></center> Bestäm en ON-bas bestående av egenvektorer till <math> F </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.10|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.10}} <div class="ovning"> ===Övning 22.11=== Bestäm en ON-bas av egenvektorer till den linjära avbildning som i en viss ON-bas har matrisen <center><math> \left( \begin{array}{rrr} 0& 0& 1\\0 & 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right). </math></center> </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.11|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.11}} <div class="ovning"> ===Övning 22.12=== En linjär avbildning <math> F </math> på rummet har i ON-basen <math> \underline{\boldsymbol{e}}= \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen <center><math> \left( \begin{array}{rrr} 3& 2& 2\\2 & 2& 0\\ 2& 0& a\end{array}\right). </math></center> a) Bestäm konstanten <math> a </math> så att <math> \boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-2\boldsymbol{e}_3 </math> blir en egenvektor till <math> F </math>. b) Finn för detta <math> a </math> en ON-bas av egenvektorer för rummet. c) Ge exempel på en högerorienterad ON-bas i b). </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.12|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.12a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.12b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.12c}} <div class="ovning"> ===Övning 22.13=== Bestäm en bas för <math> {\bf R}^3 </math>, som består av egenvektorer till matrisen <center><math> \left( \begin{array}{rrr} 1& 2& 1\\2 & 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right). </math></center> och beräkna koordinaterna för vektorn <math> (0,1,0)^t </math> i denna bas av egenvektorer. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.13|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.13}} <div class="ovning"> ===Övning 22.14=== Vilken <math>3\times3</math> matris har egenvärden 1,3 och 4 hörande till egenvektorerna <math> (1,2,1)^t </math>, <math> (1,0,-1)^t </math> resp. <math> (1,-1,1)^t </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.14|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.14}} <div class="ovning"> ===Övning 22.15=== Antag att <math> F:{\bf E^2}\rightarrow{\bf E^2} </math> är en linjär avbildning som i basen <math> \underline{\boldsymbol{e}} </math> har avbildningsmatrisen <center><math> A_{\boldsymbol{e}}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rr}2&-1\\-1&2\end{array}\right). </math></center> a) Bestäm en bas <math> \underline{\boldsymbol{f}} </math> för <math> E^2 </math> bestående av egenvektorer till <math> F </math>. b) Bestäm bassambandet samt sambandet mellan avbildningsmatriserna <math> A_{\boldsymbol{e}} </math> och <math> A_{\boldsymbol{f}} </math>. c) Beräkna <math> A_{\boldsymbol{e}}^{5} </math>, <math> A_{\boldsymbol{e}}^{-1} </math> och <math> \lim_{n\rightarrow\infty}A^n_{\boldsymbol{e}} </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.15|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.15a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.15b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.15c}} <div class="ovning"> ===Övning 22.16=== Bestäm en ortogonal matris <math> T </math> sådan att <math> T^tAT </math> är en diagonalmatris, då {| width="100%" cellspacing="10px" |a) |width="50%" | <math>\begin{pmatrix}7&4\\4&13\end{pmatrix}</math> |b) |width="50%" | <math>\left( \begin{array}{rrr} -1&0&2\\0&1&-2\\2&-2&0\end{array}\right)</math> |} {| width="100%" cellspacing="10px" |c) |width="50%" | <math>\left( \begin{array}{rrr} 4&-2&-2\\-2&-5&7\\-2&7&-5\end{array}\right)</math> |d) |width="50%" | <math>\left( \begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)</math> |} </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.16|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.16a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.16b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.16c |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.16d}} <div class="ovning"> ===Övning 22.17=== En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en viss ON-bas matrisen <center><math> A=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 1&2&0\\2&0&2\\0&2&-1\end{array}\right) </math></center> a) Bestäm en ON-bas för rummet bestående av egenvektorer till <math>F </math>. b) Bestäm matrisen för avbildningen <math>F^{1789} </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.17|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.17a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.17b}} <div class="ovning"> ===Övning 22.18=== Bestäm en matris <math>B </math> sådan att <math>B^2=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.18|Tips och lösning|Tips och lösning till U 22.18}} <div class="ovning"> ===Övning 22.19=== En linjär avbildning <math>F </math> på rummet har i en positivt orienterad ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} </math> matrisen {| width="100%" cellspacing="10px" |a) |width="50%" | <math>A_1=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}\right)</math> |b) |width="50%" | <math>A_2=\left( \begin{array}{rrr} -3&-2&-1\\2&-1&-1\\2&-2&0\end{array}\right)</math> |} {| width="100%" cellspacing="10px" |c) |width="50%" | <math>A_3=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rrr} 2&1&2\\-2&2&1\\-1&-2&2\end{array}\right)</math> |d) |width="50%" | <math>A_4=\frac{1}{6}\left( \begin{array}{rrr} -1&-2&-3\\2&4&6\\1&2&3\end{array}\right)</math> |} </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.19|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.19a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.19b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.19c |Tips och lösning till d)|Tips och lösning till U 22.19d}} <div class="ovning"> ===Övning 22.20=== Ange den symmetriska matrisen för följande kvadratiska former a) <math>x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 </math> i <math>{\bf R}^2 </math>. b) <math>x^2_1-x_2^2-2x_1x_3-3x_2x_3 </math> i <math>{\bf R}^3 </math>. c) <math>x^2_1+2x_1x_2+x_2^2 </math> i <math>{\bf R}^3 </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.20a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.20b |Tips och lösning till c)|Tips och lösning till U 22.20c}} <div class="ovning"> ===Övning 22.21=== Skriv som polynom de kvadratiska former som har matriserna {| width="100%" cellspacing="10px" |a) |width="50%" | <math>\left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ 2& 1\end{array}\right)</math> |b) |width="50%" | <math>\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& 2\\1&-1&0\\2&0&3\end{array}\right)</math> |} </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.21a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.21b}} <div class="ovning"> ===Övning 22.21=== Ange den geometriska betydelsen av följande ekvationer i <math>{\bf R}^3 </math>. a) <math>5x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=1 </math>. b) <math>2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3=1 </math>. c) <math>-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1 </math>. </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar till U 22.21|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till U 22.21a |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.21b |Tips och lösning till b)|Tips och lösning till U 22.21c}}

Tillbaka till Huvudsida.