6.4 Kedjeregeln

SamverkanFlervariabelanalysLIU

Version från den 6 juli 2013 kl. 11.27; Olosv (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök
       6.1          6.2          6.3          6.4          6.5          6.6          6.7          6.8      


Övning 7.4.1

Betrakta funktionen \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2y)+e^{x-y} och den sammansatta funktionen \displaystyle g(t)=f(t,t^2).

a) Beräkna \displaystyle g'(t) genom att bestämma \displaystyle g(t) explicit och sedan derivera.

b) Beräkna \displaystyle g'(t) med hjälp av kedjeregeln.


Övning 7.4.2

Givet ett variabelbyte, \displaystyle u=2x+3y och \displaystyle v=x.

a) Beräkna \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} och \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}. Är\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}=1?

b) Låt \displaystyle f vara en differentierbar funktion. Uttryck \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} med hjälp av \displaystyle f'_u och \displaystyle f'_v. Hur kan \displaystyle f'_x\not= f'_v\displaystyle x=v?


Övning 7.4.3

Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle z'_x-z'_y=0

a) Verifiera att \displaystyle z=\sin x\sin y-\cos x\cos y är en lösning till ekvationen

b) Visa att alla funktioner på formen \displaystyle z=f(x+y) är lösningar till ekvationen. Är funktionen i a. av denna form? I så fall vad är \displaystyle f?


Övning 7.4.4

Visa att funktionen \displaystyle z(x,y)=f(x^2-y^2,xy) är harmonisk om \displaystyle f är harmonisk.