6.4 Kedjeregeln
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Rad 49: | Rad 49: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
===Övning 7.4.4=== | ===Övning 7.4.4=== | ||
- | + | Visa att funktionen <math>z(x,y)=f(x^2-y^2,xy)</math> är harmonisk om <math>f</math> är harmonisk. | |
- | + | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 7.4.4|Tips och lösning|Tips och lösning till övning 7.4.4}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 7.4.4|Tips och lösning|Tips och lösning till övning 7.4.4}} |
Versionen från 6 juli 2013 kl. 11.27
6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 | 6.7 | 6.8 |
Övning 7.4.1
Betrakta funktionen \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2y)+e^{x-y} och den sammansatta funktionen \displaystyle g(t)=f(t,t^2).
a) Beräkna \displaystyle g'(t) genom att bestämma \displaystyle g(t) explicit och sedan derivera.
b) Beräkna \displaystyle g'(t) med hjälp av kedjeregeln.
Övning 7.4.2
Givet ett variabelbyte, \displaystyle u=2x+3y och \displaystyle v=x.
a) Beräkna \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} och \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}. Är\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}=1?
b) Låt \displaystyle f vara en differentierbar funktion. Uttryck \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} med hjälp av \displaystyle f'_u och \displaystyle f'_v. Hur kan \displaystyle f'_x\not= f'_v då \displaystyle x=v?
Övning 7.4.3
Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle z'_x-z'_y=0
a) Verifiera att \displaystyle z=\sin x\sin y-\cos x\cos y är en lösning till ekvationen
b) Visa att alla funktioner på formen \displaystyle z=f(x+y) är lösningar till ekvationen. Är funktionen i a. av denna form? I så fall vad är \displaystyle f?
Övning 7.4.4
Visa att funktionen \displaystyle z(x,y)=f(x^2-y^2,xy) är harmonisk om \displaystyle f är harmonisk.