10.1 Optimering på kompakta områden
SamverkanFlervariabelanalysLIU
| (9 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
Avgör om följande funktioner säkert antar ett största och minsta värde i mängden <math>D</math> | Avgör om följande funktioner säkert antar ett största och minsta värde i mängden <math>D</math> | ||
| - | a) <math>f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}}</math> i <math>D=\{(x,y)\in\ | + | a) <math>f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}}</math> i <math>D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \ |x|+|y|\leq 1 \}</math> |
| - | b) <math>f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}}</math> i <math>D=\{(x,y)\in\ | + | b) <math>f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}}</math> i <math>D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \ |x+y|< 1 \}</math> |
| - | c) <math>f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}</math> i <math>D=x^{2}+y^{2}\leq 1</math> | + | c) <math>f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}}</math> i <math>D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}</math> |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 11.1.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 11.1.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 11.1.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 11.1.1c}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 11.1.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 11.1.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 11.1.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 11.1.1c}} | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.1.2=== | ||
| + | Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det | ||
| + | angivna området. | ||
| + | |||
| + | a) <math>f(x,y)=x+y</math> i området som ges av <math>x^2+y^2\le 1</math> | ||
| + | |||
| + | b) <math>f(x,y)=x^2+y^2-xy</math> i den slutna kvadraten med hörn i punkterna | ||
| + | <math>(\pm 1,\pm 1)</math> | ||
| + | |||
| + | c) <math>f(x,y)=xy-\sqrt{1-x^2-y^2}</math> i området <math>x^2+y^2\leq 1</math> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 11.1.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 11.1.2a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 11.1.2b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 11.1.2c}} | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.1.3=== | ||
| + | Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det | ||
| + | angivna området. | ||
| + | |||
| + | a) <math>f(x,y,z)=xyz+xy</math> i tetraedern med hörn i (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) och (0,0,2). | ||
| + | |||
| + | b) <math>f(x,y,z)=xyz</math> i enhetskuben <math>|x|\leq 1</math>, <math>|y|\leq 1</math>, och <math>|z|\leq 1</math> | ||
| + | |||
| + | c) <math>f(x,y,z)=z^{2}+4xy</math> i enhetsklotet <math>x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1</math> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 11.1.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 11.1.3a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 11.1.3b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 11.1.3c}} | ||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 11.1.4=== | ||
| + | Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det | ||
| + | angivna området. | ||
| + | |||
| + | a) <math>f(x,y)=x^2+4y^2</math> i området <math>(x-1)^2+4y^2\leq 1</math> | ||
| + | |||
| + | b) <math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+e^{x^2+y^2}</math> då <math>x^{2}+y^{2}\leq 1</math> | ||
| + | |||
| + | c) <math>f(x,y,z)=x^{2}+x+y^{2}-2y+3z</math> då <math>x^{2}+y^{2}\le z\leq 4</math> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 11.1.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 11.1.4a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 11.1.4b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 11.1.4c}} | ||
Nuvarande version
| 10.1 | 10.2 | 10.3 |
Innehåll |
Övning 11.1.1
Avgör om följande funktioner säkert antar ett största och minsta värde i mängden \displaystyle D
a) \displaystyle f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}} i \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \ |x|+|y|\leq 1 \}
b) \displaystyle f(x,y)=(x^{4}+y^{3})e^{x^{2}-y^{2}} i \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : \ |x+y|< 1 \}
c) \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} i \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}
Hämtar...Övning 11.1.2
Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det angivna området.
a) \displaystyle f(x,y)=x+y i området som ges av \displaystyle x^2+y^2\le 1
b) \displaystyle f(x,y)=x^2+y^2-xy i den slutna kvadraten med hörn i punkterna \displaystyle (\pm 1,\pm 1)
c) \displaystyle f(x,y)=xy-\sqrt{1-x^2-y^2} i området \displaystyle x^2+y^2\leq 1
Övning 11.1.3
Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det angivna området.
a) \displaystyle f(x,y,z)=xyz+xy i tetraedern med hörn i (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) och (0,0,2).
b) \displaystyle f(x,y,z)=xyz i enhetskuben \displaystyle |x|\leq 1, \displaystyle |y|\leq 1, och \displaystyle |z|\leq 1
c) \displaystyle f(x,y,z)=z^{2}+4xy i enhetsklotet \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1
Övning 11.1.4
Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det angivna området.
a) \displaystyle f(x,y)=x^2+4y^2 i området \displaystyle (x-1)^2+4y^2\leq 1
b) \displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+e^{x^2+y^2} då \displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1
c) \displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+x+y^{2}-2y+3z då \displaystyle x^{2}+y^{2}\le z\leq 4
