6.4 Kedjeregeln

Övning 7.4.1

Betrakta funktionen \displaystyle f(x,y)=\sin(x^2y)+e^{x-y} och den sammansatta funktionen \displaystyle g(t)=f(t,t^2).

a) Beräkna \displaystyle g'(t) genom att bestämma \displaystyle g(t) explicit och sedan derivera.

b) Beräkna \displaystyle g'(t) med hjälp av kedjeregeln.

Övning 7.4.2

Givet ett variabelbyte, \displaystyle u=2x+3y och \displaystyle v=x.

a) Beräkna \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} och \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}. Är\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}=1?

b) Låt \displaystyle f vara en differentierbar funktion. Uttryck \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} med hjälp av \displaystyle f'_u och \displaystyle f'_v. Hur kan \displaystyle f'_x\not= f'_v då \displaystyle x=v?

Övning 7.4.3

Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle z'_x-z'_y=0

a) Verifiera att \displaystyle z=\sin x\sin y-\cos x\cos y är en lösning till ekvationen

b) Visa att alla funktioner på formen \displaystyle z=f(x+y) är lösningar till ekvationen. Är funktionen i a. av denna form? I så fall vad är \displaystyle f?

Övning 7.4.4

Visa att funktionen \displaystyle z(x,y)=f(x^2-y^2,2xy) är harmonisk om \displaystyle f är harmonisk.

Övning 7.4.5

Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle 2z'_x+3z'_y=0

a) Förenkla differentialekvationen genom variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=3x-2y

b) Lös den partiella differentialekvationen

Övning 7.4.6

Bestäm alla \displaystyle \mathcal{C}^1-funktioner \displaystyle z som uppfyller den partiella differentialekvationen

\displaystyle x^2z'_x-z'_y=0, \quad x>0

med hjälp av variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=\frac{1}{x}-y.

Övning 7.4.7

Givet att \displaystyle z\in\mathcal{C}^1, lös den partiella differentialekvationen

\displaystyle yz'_{x}-xz'_{y}=xyz.

där \displaystyle x>0 och \displaystyle y>0, genom att utnyttja variabelbytet \displaystyle u=x^{2}+y^{2}, \displaystyle v=e^{-x^{2}/2}.

Övning 7.4.8

Betrakta den partiella differentialekvationen \displaystyle 6z''_{xx}-5z''_{xy}+z''_{yy}=2x,

a) Visa att man kan välja \displaystyle a och \displaystyle b så att variabelbytet \displaystyle u=x+ay,\displaystyle v=x+by överför differentialekvationen i en ekvation på formen \displaystyle z''_{uv}=h(u,v). Vi förutsätter att \displaystyle z(x,y)\in \mathcal{C}^2

b) Bestäm alla lösningar till differentialekvationen som är \displaystyle \mathcal{C}^2-funktioner \displaystyle z(x,y).

Övning 7.4.9

Givet att \displaystyle z\in\mathcal{C}^2 lös den partiella differentialekvationen \displaystyle xz''_{xy}+yz''_{yy}=\frac{x}{y^{2}}, där \displaystyle x>0 och \displaystyle y>0, genom att utnyttja variabelbytet \displaystyle u=x, \displaystyle v=\frac{x}{y}.

Övning 7.4.10

Vågekvationen är \displaystyle z''_{tt}=c^2z''_{xx}. Använd variabelbytet \displaystyle u=x+ct, \displaystyle v=x-ct för att få ekvationen på en enklare form. Bestäm sedan den allmänna lösningen till ekvationen. Vi förutsätter att \displaystyle z(x,t)\in \mathcal{C}^2.