Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra.

Som vi diskuterade i kapitel [[#ch:relativistiskkinematik|]] kan energin för ett objekt med massa \displaystyle m (det vill säga viloenergi \displaystyle mc^2) i inertialsystemet \displaystyle S skrivas
\displaystyle E = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt}{d\tau},
där \displaystyle \tau är egentiden för den världslinje objektet följer. På samma sätt kan objektets rörelsemängd i \displaystyle x-riktningen skrivas
\displaystyle p = mv\gamma = m\frac{dx}{d\tau}
och motsvarande samband gäller
\displaystyle E' = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} \quad \mbox{och} \quad p' = mv\gamma = m\frac{dx'}{d\tau}
i inertialsystemet \displaystyle S'. Vi vet att \displaystyle \tau är en invariant som inte beror på inertialsystemet och behöver därför inte ange något prim för detta. Enligt lorentztransformationen av rums- och tidskoordinaterna erhålls nu
\displaystyle c\, dt' = \gamma\left(c\, dt - \frac{v}{c} dx\right) \quad \mbox{och} \quad dx' = \gamma \left( dx - \frac{v}{c} c\, dt\right),
vilket direkt kan sättas in i uttrycken för \displaystyle E' och \displaystyle p'. För \displaystyle E' leder detta till
\displaystyle E' = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} = \gamma \left(mc^2 \frac{dt}{d\tau} - mv \frac{dx}{d\tau}\right) = \gamma (E - v p )
och för \displaystyle p' fås på samma sätt
\displaystyle p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \gamma \left( m \frac{dx}{d\tau} - v m \frac{dt}{d\tau}\right) = \gamma ( p - \frac{v}{c^2} E).

Energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem är därför relaterade enligt
\displaystyle \boxed{ E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right) .}
Vi noterar att detta är på precis samma form som lorentztransformationen (se ekvation [eq:lorentztransformation]) med \displaystyle ct utbytt mot \displaystyle E och \displaystyle x utbytt mot \displaystyle pc. Dessa samband talar om för oss hur ett objekts energi och rörelsemängd i olika inertialsystem förhåller sig till varandra och definierar lorentztransformationen för energi och rörelsemängd. På precis samma sätt som lorentztransformationen kopplar samman rum och tid kopplar den alltså samman rörelsemängd och energi.

Lorentztransformationen för rörelsemängd och energi kan på ett rättframt sätt även utvidgas till de övriga två rumsdimensionerna. På samma sätt som ovan fås då \displaystyle p'_y = p_y och \displaystyle p'_z = p_z eftersom \displaystyle dy' = dy och \displaystyle dz' = dz.

En proton beskriven i olika inertialsystem
Den totala energin och rörelsemängden hos en proton i inertialsystemet \displaystyle S ges av \displaystyle E = 1.15 GeV och \displaystyle pc = -0.58 GeV. I ett inertialsystem \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v = c/2 relativt \displaystyle S ges protonens energi och rörelsemängd då av lorentztransformationen

\displaystyle \begin{aligned} E' &= \frac{2}{\sqrt{3}} \left( 1.15 + \frac{1}{2} 0.58 \right) \approx 1.7~\mbox{GeV}, \\ \quad p'c &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(-0.58 - \frac{1}{2} 1.15\right) \approx -1.3~\mbox{GeV}.\end{aligned}

Som diskuterades i föregående kapitel kan vi nu finna protonens hastighet i det nya systemet genom sambandet
\displaystyle u' = \frac{p'c}{E'}c \approx \frac{1.3}{1.7} c \approx 0.76c.

Allmänna lorentztransformationer och invarianter

Vi har nu sett att lorentztransformationen kopplar ihop rörelsemängd och energi på samma sätt som den kopplar ihop rum och tid. Det visar sig att det även finns andra storheter som kopplas ihop på liknande sätt och vi kan säga att två storheter \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 uppfyller en allmän lorentztransformation om deras värden i inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' förhåller sig enligt
\displaystyle \boxed{ k_0' = \gamma \left( k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och}\quad k_1' = \gamma \left( k_1 - \frac{v}{c} k_0\right).}
I fallet med rum- och tidskoordinater har vi \displaystyle k_0 = ct och \displaystyle k_1 = x medan vi i fallet med rörelsemängd och energi har \displaystyle k_0 = E och \displaystyle k_1 = pc.

Som vi tidigare diskuterat är invarianta storheter av stor vikt inom fysiken och förutsatt att vi har storheter som transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen kan vi använda dem för att skriva ner olika invarianter. Om vi har två uppsättningar av storheter, \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 samt \displaystyle q_0 och \displaystyle q_1, som uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller det att \displaystyle \begin{aligned} k_0' q_0' - k_1' q_1' &= \gamma^2 \left(k_0 -\frac{v}{c} k_1\right)\left(q_0 -\frac{v}{c} q_1\right) - \gamma^2 \left(k_1 -\frac{v}{c} k_0\right)\left(q_1 -\frac{v}{c} q_0\right) \nonumber \\ &= \gamma^2 \left[k_0q_0 - \frac{v}{c}(k_0q_1 + q_0k_1) + \frac{v^2}{c^2}k_1q_1\right. \nonumber \\ & \phantom{= \gamma^2 [} \left. - k_1q_1 + \frac{v}{c}(k_1q_0 + k_0q_1) - \frac{v^2}{c^2} k_0 q_0\right] \nonumber \\ &= \gamma^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) (k_0q_0 - k_1 q_1) = k_0q_0 - k_1 q_1,\end{aligned} det vill säga uttrycket \displaystyle k_0q_0 - k_1q_1 är just en invariant som tar samma värde i alla inertialsystem. Detta är ett ytterst användbart samband, speciellt då vi ofta kommer kunna uttrycka \displaystyle k_0, \displaystyle k_1, \displaystyle q_0 och \displaystyle q_1 på olika sätt i olika inertialsystem och därigenom kunna relatera storheter i olika inertialsystem med varandra. Hur detta fungerar kommer att visas mer konkret inom kort. Vi kan beteckna ett par av storheter \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 som uppfyller den allmänna lorentztransformationen med \displaystyle k = (k_0,k_1) och införa en beteckning för invarianten ovan enligt
\displaystyle \boxed{k\cdot q = (k_0,k_1)\cdot(q_0,q_1) = k_0 q_0 - k_1 q_1.}
Minustecknet är här nödvändigt för att storheten ska vara invariant och har samma ursprung som minustecknet i det invarianta rumtidsintervallet. Denna definition kommer att avsevärt underlätta vår notation i den återstående delen av detta kapitel. När vi arbetar med tre rumsdimensioner kommer storheterna \displaystyle k_1 och \displaystyle q_1 att bytas ut mot tredimensionella vektorer \displaystyle \vec k=(k_1,k_2,k_3) och \displaystyle \vec q = (q_1,q_2,q_3) och produkten \displaystyle k_1 q_1 kommer att bytas ut mot skalärprodukten
\displaystyle \vec k \cdot \vec q = k_1 q_1 + k_2 q_2 + k_3 q_3.

Energi, rörelsemängd och massa
I fallet med ett objekts rörelsemängd och energi kan vi välja \displaystyle k_0 = q_0 = E och \displaystyle k_1 = q_1 = pc samt införa beteckningen \displaystyle P = (E, pc). Storheten \displaystyle k_0q_0 - k_1 q_1 = P\cdot P ges då av
\displaystyle P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = m^2c^4 \gamma^2 - m^2 c^2 v^2 \gamma^2 = m^2 c^4 \gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = m^2 c^4.
Invarianten som fås genom detta är således objektets viloenergi i kvadrat som således kan räknas ut genom att ställa upp uttrycket \displaystyle E^2 - p^2 c^2 i ett godtyckligt inertialsystem, precis som vi kom fram till i föregående kapitel. Objektet \displaystyle P = (E,pc) som innehåller ett objekts energi och rörelsemängd kallas för objektets 4-rörelsemängd.

Det bör också nämnas att om vi har två uppsättningar av storheter som transformeras enligt den allmänna lorentztransformationen så kommer även deras summa och differens att göra det. Detta fås direkt ur
\displaystyle k'_0 \pm q'_0 = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c}k_1\right) \pm \gamma \left(q_0 - \frac{v}{c}q_1\right) = \gamma \left[(k_0\pm q_0) - \frac{v}{c} (k_1\pm q_1)\right]
och motsvarande betraktande för \displaystyle k'_1 \pm q'_1.

En summa av energier och rörelsemängder
Om vi betraktar två objekt med energierna \displaystyle E_1 respektive \displaystyle E_2 samt rörelsemängderna \displaystyle p_1 respektive \displaystyle p_2 så gäller det att den totala energin \displaystyle E = E_1 + E_2 och den totala rörelsemängden \displaystyle p = p_1 + p_2 uppfyller den allmänna lorentztransformationen

\displaystyle E' = E'_1 + E'_2 = \gamma \left[ E_1+E_2 - v (p_1+p_2)\right] = \gamma ( E - v p)
samt
\displaystyle p' = p'_1 + p'_2 = \gamma \left[p_1 + p_2 - \frac{v}{c^2}(E_1 + E_2)\right] = \gamma\left( p - \frac{v}{c^2}E\right).