Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Innan vi kommer till relativistisk mekanik ska vi sammanfatta några huvudresultat inom klassisk mekanik. Fokus kommer att ligga på bevarandelagar[def:bevarandelagar] som är centrala resultat i mekaniken. En bevarandelag beskriver att en egenskap inte ändras med tiden. De egenskaper som ska studeras är massa, energi och rörelsemängd. I klassisk mekanik bevaras den totala massan, energin och rörelsemängden även om systemet genomgår reaktioner och kollisioner, så att dessa antar samma värden före och efter kollisionen. Vi ska först se hur detta fungerar i klassisk fysik för att sedan komma till vad som behöver modifieras i relativitetsteorin.

Massa

Vi börjar med att diskutera begreppet massa och dess egenskaper i klassisk mekanik. Massan hos ett objekt är en karakteristisk konstant hos varje system, som klassiskt definieras som proportionalitetskonstanten mellan en kraft som påverkar objektet och den resulterande accelerationen. Detta är Newtons andra lag
\displaystyle F=ma,
där \displaystyle F är kraften, \displaystyle m är massan och \displaystyle a är accelerationen. Massan 1 kg definieras idag som massan hos den internationella prototypen för kilogrammet (IPK) som lagras i Sèvres i Frankrike. Det finns flera kopior av standardmassan runt om i världen. Massan hos andra objekt kan bestämmas experimentellt genom att jämföra accelerationen som en given kraft ger. Om standardmassan \displaystyle m_0 får accelerationen \displaystyle a_0 så blir \displaystyle F=m_0a_0=ma \Rightarrow m=m_0 a_0/a. Det vanligare sättet att bestämma massa är att använda en våg som utnyttjar att gravitationskraften vid jordytan är \displaystyle F=mg, där \displaystyle g\approx 9.8 m/s\displaystyle ^2 är tyngdaccelerationen vid jordytan. Genom att mäta gravitationskraften med till exempel utsträckningen av en fjäder på grund av tyngdkraften kan \displaystyle m bestämmas.

Det finns några andra relaterade begrepp som vi nämner för fullständighetens skull. Massan \displaystyle m som förekommer i Newtons gravitationslag kallas ibland den “tunga massan” och man kan fråga sig om den är samma sak som den “tröga massan” i Newtons andra lag. Experimentellt finns ingen skillnad på värdena av de två och de antas därför vara samma. Detta antagande är en av grundtankarna bakom Einsteins allmänna relativitetsteori som vi inte kommer att gå in på i denna kurs. Ett närliggande begrepp är tyngden hos en kropp, som ges av gravitationskraften på en massa, det vill säga \displaystyle F = mg. Denna beror på värdet av tyngdaccelerationen \displaystyle g och ändras om värdet på \displaystyle g ändras. I tyngdlöshet är \displaystyle g\approx 0. På månen är tyngdaccelerationen ungefär \displaystyle 0.16 g och tyngden hos ett objekt blir därför enbart 16 % av tyngden vid jordytan.

Lagen om massans bevarande är en viktig princip i klassisk fysik som säger att massa inte kan förstöras eller skapas. Vid en reaktion är summan av de ingående massorna samma före och efter reaktionen. Denna lag är ofta väldigt användbar till exempel inom kemi och vätskeflöden, men gäller inte i allmänhet relativistiskt. Vi såg redan ett exempel ovan när vi diskuterade Einsteins låda på hur massa kan omvandlas till strålning.

Rörelsemängd

Rörelsemängden \displaystyle p definieras inom den klassiska mekaniken som massan \displaystyle m gånger hastigheten \displaystyle v=dx/dt hos ett objekt:
\displaystyle p=mv.
Vi antar här rörelse enbart i \displaystyle x-riktningen för enkelhets skull. I allmänhet är hastighet och rörelsemängd vektorer med komponenter i \displaystyle x,y,z-riktningarna: \displaystyle (p_x,p_y,p_z)=(mv_x,mv_y,mv_z). Newtons rörelselag kan med hjälp av rörelsemängden uttryckas på följande sätt:
\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=m\,\frac{dv}{dt}.
Den sista likheten gäller om \displaystyle m inte beror på tiden. Detta är inte nödvändigtvis sant. Exempelvis minskar massan hos ett rymdskepp med tiden på grund av att raketbränslet konsumeras och rörelseekvationen på formen \displaystyle F=dp/dt=v\,dm/dt+m\,dv/dt måste användas.

Redan i kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]] nämnde vi Newtons första lag som säger att utan yttre krafter befinner sig ett objekt i likformig rörelse:
\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=0 \quad \Longrightarrow \quad p=\mbox{konstant}.
Vid likformig rörelse bevaras alltså rörelsemängden. Vi kommer ofta diskutera vad som händer vid en kollision mellan två partiklar. Då bevaras den totala rörelsemängden som ges av summan av partiklarnas rörelsemängder. Den totala rörelsemängden är lika stor före och efter kollisionen. Denna egenskap är grunden för mycket av det som kommer att diskuteras i detta kapitel. Nästa exempel är viktigt och ger det centrala resultatet: rörelsemängdens bevarande är invariant det vill säga gäller i alla inertialsystem.

Rörelsemängd hos kolliderande partiklar
Två partiklar med massa \displaystyle m_1 och \displaystyle m_2, hastighet \displaystyle v_1 och \displaystyle v_2, och rörelsemängd \displaystyle p_1=m_1v_1,p_2=m_2v_2 kolliderar med varandra. Partiklarna påverkar varandra med en kraft vid kollisionen, men inga yttre krafter antas verka på systemet. Alice studerar kollisionen i sitt vilosystem. Enligt Newtons andra lag är \displaystyle dp_1/dt=F_1 och \displaystyle dp_2/dt=F_2 där \displaystyle F_1 är kraften från partikel 2 på 1, och \displaystyle F_2 är kraften från partikel 1 på 2. Enligt Newtons tredje lag är dessa krafter lika stora och motriktade: \displaystyle F_1=-F_2. Summan av partiklarnas rörelseekvationer blir därför \displaystyle \frac{d}{dt}(p_1+p_2)=F_1+F_2=0. Detta visar att den totala rörelsemängden \displaystyle p_1+p_2 bevaras, det vill säga \displaystyle p_1+p_2 beror inte på tiden utan antar samma värde vid alla tider, före och efter kollisionen. Vad gäller i andra inertialsystem? Bobs vilosystem rör sig med hastighet \displaystyle v relativt Alice. Enligt galileitransformationen och den klassiska hastighetsadditionsformeln är partiklarnas hastigheter i Bobs inertialsystem \displaystyle v_1'=v_1-v och \displaystyle v_2'=v_2-v, och rörelsemängderna blir \displaystyle p_1'=m_1v_1-m_1v=p_1-m_1v och \displaystyle p_2'=m_2v_2-m_2v=p_2-m_2v. Rörelsemängderna har alltså inte samma värden som i Alices system. Vi erhåller nu \displaystyle \frac{d}{dt}(p_1'+p_2')= \frac{d}{dt}(p_1 + p_2) - (m_1 + m_2) \frac{dv}{dt} =

   \frac{d}{dt}(p_1+p_2)=0 eftersom \displaystyle v är en konstant. Detta visar att om rörelsemängden bevaras i ett inertialsystem så bevaras den i alla.

Slutsatsen är att rörelsemängden beror på valet av inertialsystem, men nyckelobservationen är att totala rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Detta följer av galileitransformationen och klassisk hastighetsaddition.

Energi

I klassisk mekanik definieras rörelseenergin[def:rorelseenergi] eller kinetiska energin som
\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m},
där \displaystyle p=mv är rörelsemängden. Den totala rörelseenergin för de två partiklarna i exemplet ovan blir
\displaystyle E=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}
i Alices system. Värdet i Bobs system är annorlunda och ges i stället av
\displaystyle E'=\frac{(p'_1)^2}{2m_1}+\frac{(p'_2)^2}{2m_2}

   =\frac{(p_1-m_1v)^2}{2m_1}+\frac{(p_2-m_2v)^2}{2m_2},

vilket inte överensstämmer med energins värde \displaystyle E i Alices system. Rörelseenergins värde beror alltså, liksom rörelsemängdens värde, på valet av inertialsystem,

Så kallade konservativa krafter kan skrivas som derivatan av en potentiell energi \displaystyle V som
\displaystyle F=-\frac{dV}{dx}.
Vid konservativa krafter definieras den totala energin som
\displaystyle E=T+V.
Ändringen av den totala energin med tiden ges av
\displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}+\frac{dV}{dt} =\frac{dp}{dt}\frac{p}{m}+\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} =Fv-Fv=0
enligt Newtons rörelselag \displaystyle F=dp/dt=-dV/dx och kedjeregeln för derivering \displaystyle dV(x(t))/dt=(dV(x)/dx)(dx/dt). Detta är energiprincipen, eller lagen om att den totala energin bevaras. Den säger att den totala energin är konstant men kan omvandlas mellan olika energiformer. Det kan även finnas fler former än de som nämnts ovan, exempelvis som värmeenergi och strålningsenergi. Det allmänna resultatet är att den totala energin bevaras om alla bidrag tas med.

Sammanfattningsvis har vi formulerat tre viktiga bevarandelagar i klassisk mekanik: massa och energi bevaras, och rörelsemängd bevaras hos fri rörelse. Bevarandelagarna gäller i alla inertialsystem.