Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid \displaystyle t = 0 och Bob rör sig med hastigheten \displaystyle v i Alice vilosystem. Om han vid tiden \displaystyle t=t_0 vänder för att färdas med en hastighet \displaystyle -v så kommer Bobs klocka hela tiden att vara tidsdilaterad med samma faktor \displaystyle \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}. När Bob kommer tillbaka till Alices position har tiden i Alices vilosystem blivit
\displaystyle t_A = 2t_0.
Eftersom Bob under hela färden varit tidsdilaterad kommer tiden som passerat för Bob att ges av
\displaystyle t_B = 2\frac{t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.
Men hur ser det hela ut från Bobs vilosystem? Eftersom Bob vänder efter halva resan kommer han att under resans gång byta vilosystem, men oberoende av vilket inertialsystem han är i vila relativt så kommer Alices klocka att vara tidsdilaterad med en faktor \displaystyle \gamma. Borde inte detta innebära att vi i stället får relationen
\displaystyle t_A = \frac{t_B}{\gamma}
som står i direkt konflikt med vad vi kom fram till sett från Alices vilosystem? Detta verkar vara en motsägelse och det är precis denna motsägelse som brukar kallas för tvillingparadoxen[def:tvillingparadoxen]. Ursprunget till paradoxen är det faktum att tidsdilatation är symmetrisk, det vill säga om Bob rör sig med en hastighet \displaystyle v relativt Alice så kommer Alice att uppfatta att Bobs klocka är tidsdilaterad men Bob kommer att uppfatta att det är Alices klocka som tidsdilateras.

En resa till \displaystyle \boldsymbol{\alpha}-Centauri
I trippelstjärnesystemet \displaystyle \alpha-Centauri ligger de tre stjärnor som, förutom solen, ligger närmast jorden drygt fyra ljusår bort. Nyligen har bland annat Stephen Hawking föreslagit ett projekt för att skicka små ultralätta rymdfarkoster till \displaystyle \alpha-Centauri med en hastighet på \displaystyle v = 0.2c. Dessa kommer inte att kunna vända om, men skulle en rymdfarkost som kunde det utföra samma resa och sedan färdas tillbaka med samma hastighet skulle vi kunna räkna ut tiden det skulle ta enligt
\displaystyle t = 2\frac{4~\mbox{ljusår}}{0.2~\mbox{ljusår}/\mbox{år}} = 40~\mbox{år}.
En hastighet på \displaystyle v = 0.2c skulle innebära en lorentzfaktor på \displaystyle \gamma \approx 1.02. En klocka ombord på farkosten skulle dessutom vara tidsdilaterad och därför enbart tickat fram \displaystyle t' \approx 39.2 år, det vill säga nästan 10 månader mindre.

Minkowskidiagram och tidsgap

Hur kan det då gå ihop att en klocka på jorden är tidsdilaterad i farkostens vilosystem samtidigt som att en klocka i farkosten är tidsdilaterad i jordens vilosystem? Vi ska här titta på hur tvillingparadoxen kan upplösas på två olika sätt, dels genom att utföra en analys av förloppen med en jämförelse av samtidigheter och dels med hjälp av två ljussignaler. Resonemangen kommer att kräva en del matematik, men kan förklaras konceptuellt enbart med hjälp av minkowskidiagram och en förståelse för hur relativ samtidighet ter sig i dessa.

I Alices vilosystem \displaystyle S kan förloppet beskrivas med minkowskidiagrammet i figur [fig:twinS].

Vid tiden \displaystyle t = t_0 vänder Bob och färdas i motsatt riktning och hela tiden är Bob därför tidsdilaterad med en faktor \displaystyle \gamma. Alice åldras under hela förloppet \displaystyle t_A = 2t_0 och Bob åldras \displaystyle t_B = t_A/\gamma. Detta är precis samma argument vi använde ovan.

I de två vilosystemen där Bob befinner sig i vila under delar av sin resa, som vi kan kalla \displaystyle S' och \displaystyle S'', har vi i stället situationerna som visas i figur [fig:twinSprime].

I \displaystyle S' är Bob i vila en tid \displaystyle t_0' innan han börjar röra sig och Alices klocka tickar under denna tid \displaystyle t_0'/\gamma i \displaystyle S'. På samma sätt tar det Bob samma tid \displaystyle t_0' innan han återförenas med Alice och under denna tid tickar Alices klocka också \displaystyle t_0'/\gamma i \displaystyle S''. Från rumtidsdiagrammen i figur [fig:twinSprime] ser vi att tiden \displaystyle t_0'/\gamma motsvarar den tid Alices klocka tickar fram mellan att de tar farväl och att Bob vänder i \displaystyle S' och att Bob vänder i \displaystyle S'' och de återförenas. Antagandet att Alices totala tid nu ges av \displaystyle 2t_0'/\gamma baseras nu på att händelsen \displaystyle A' är densamma som händelsen \displaystyle A''. Om detta inte är fallet har vi inte tagit hela Alices världslinje i beaktande när vi räknat ut hennes tid! Tittar vi nu i stället på vilka delar av rumtidsdiagrammet baserat på \displaystyle S' som diagrammen i figur [fig:twinSprime] beskriver (se figur [fig:twinall]) så ser vi att samtidighetslinjerna för \displaystyle S' och \displaystyle S'' inte är desamma och detta innebär att \displaystyle A' och \displaystyle A'' inte motsvarar samma händelse på Alices världslinje och Alices totala tid ges därför inte av \displaystyle 2t_0'/\gamma. Om vi gör detta finns det därför ett tidsgap[def:tidsgap] som vi inte räknat med då vi använt oss av tidsdilationen.

Vi kan räkna ut vad Alices totala tid borde bli om vi tar hela hennes världslinje i beaktande genom att studera figur [fig:twinSprimealt] där vi ritat ut samtidighetslinjen för \displaystyle S i \displaystyle S' då halva Alices tid passerat vid den händelse som är samtidig med Bobs vändning i \displaystyle S.

Eftersom samtidighetslinjen har lutningen \displaystyle -v/c och Alices världslinje i \displaystyle S' har lutningen \displaystyle -c/v erhålls ur geometrin sambandet
\displaystyle -\frac{v}{c} c\tau = - \frac{c}{v}(c\tau - ct_0') \quad \Longrightarrow \quad \tau = \frac{t_0'}{1-\frac{v^2}{c^2}} = t_0' \gamma^2.
Eftersom Alice i \displaystyle S' är tidsdilaterad kommer tiden det tar henne att nå fram till samtidighetslinjen att ges av
\displaystyle t_0 = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{t_0'\gamma^2}{\gamma} = t_0' \gamma.
Motsvarande argument för inertialsystemet \displaystyle S'' ger att Alices totala tid blir
\displaystyle t_A = 2t_0'\gamma = t_B \gamma.
Vi återfår därför precis samma uttryck \displaystyle t_B = t_A/\gamma som vi fick genom att studera händelseförloppet från Alices vilosystem och tvillingparadoxen är löst - det kommer ha gått mindre tid för Bob än för Alice när de återförenas!

Jorden runt och 300 ms
Tvillingparadoxen har testats direkt genom Hafele–Keating-experimentet år 1971 som även omnämndes i kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Genom att flyga två atomur runt jorden, ett i östlig och ett i västlig riktning, och sedan återförena dem och jämföra de tider som gått för dessa med ett referensur. För detta experiment var även effekterna från allmän relativitetsteori viktiga, men resultatet visade tydligt på en skillnad mellan uren som framför allt härrör från effekterna från speciell relativitetsteori. På grund av jordens rotation i östlig riktning rörde sig planet som flög i östlig rikting fortare och uret tickade under färden fram ungefär 300 ms mindre.

Ljussignalsanalys

Som ett alternativ till det ovanstående kan vi göra en analys som i stället påminner om den vi gjorde när vi diskuterade dopplereffekten i det föregående kapitlet. Vi kan tänka oss att Alice skickar ut en ljussignal som när den når Bob talar om för honom att det är dags att vända om och att Bob när han vänder skickar en ljussignal tillbaka till Alice som svar, se figur [fig:twinljusS]. Med hjälp av dessa signaler kommer vi att kunna nå fram till samma slutsats som tidigare, men på ett lite annorlunda sätt.

Vi börjar med att från Alices vilosystem \displaystyle S titta på signalen Bob skickar tillbaka. Bob sänder ut denna signal vid tiden \displaystyle t = t_0 och befinner sig då vid \displaystyle x = vt_0. Inkluderar vi signalfördröjningen innebär detta att Alice tar emot Bobs svar vid tiden
\displaystyle t_{A1} = t_0 + \frac{v}{c}t_0
eftersom det tar ljuset tiden \displaystyle vt_0/c att färdas tillbaka. När Bob kommer tillbaka kan Alice också konstatera att då Bob skickade signalen vid tiden \displaystyle t = t_0 så kommer tiden mellan att hon mottagit Bobs signal och att Bob kommer tillbaka att ges av
\displaystyle t_{A2} = t_0 - \frac{v}{c} t_0.
Den totala tiden Alice upplever för hela förloppet ges därför av
\displaystyle t_A = t_{A1} + t_{A2} = 2 t_0.
Samtidigt är Bob tidsdilaterad relativt \displaystyle S och Bobs passerade tid ges därför av
\displaystyle t_B = \frac{2t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.
Låt oss nu använda oss av Bobs olika inertialsystem för att komma fram till samma slutsats och då studera signalen som Alice skickat i stället. I Bobs ursprungliga inertialsystem \displaystyle S' mottar han ljussignalen efter tiden \displaystyle t_0'. Om vi kallar tiden i \displaystyle S' då Alice skickar signalen för \displaystyle t_{A1}' kan vi ur figur [fig:twinSprimealt2] komma fram till att Alice skickat iväg signalen då hon befann sig på ett avstånd \displaystyle vt_{A1} och att det därför tar signalen tiden \displaystyle vt_{A1}/c att nå Bob. Därmed erhålls sambandet
\displaystyle t_0' = t_{A1}'\left(1 + \frac{v}{c}\right) \quad \Longrightarrow \quad t_{A1}' = \frac{c t_0'}{c+v}.
Eftersom Alice är tidsdilaterad i \displaystyle S' med en faktor \displaystyle \gamma är tiden Alice upplever tills dess att hon skickat iväg signalen
\displaystyle t_{A1} = \frac{t_{A1}'}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c+v}.
Vi använder nu Bobs återvändande inertialsystem \displaystyle S'' för att beräkna tiden Alice upplever efter det att hon skickat signalen. Det tar Bob tiden \displaystyle t_0' innan han återförenas med Alice och om vi antar att det i detta inertialsystem tar Alice tiden \displaystyle t_{A2}'' att komma fram till Bob efter att ha skickat signalen så erhålls ur figur [fig:twinSprimeprimealt2] sambandet
\displaystyle t_{A2}'' = t_0' + \frac{v}{c} t_{A2}'',
där den sista termen är den tid det tar för ljuset att färdas sträckan \displaystyle v t_{A2}'', det vill säga samma sträcka som Alice färdas i \displaystyle S'' för att komma fram till Bob. Genom att lösa ut \displaystyle t_{A2}'' ur detta fås
\displaystyle t_{A2}'' = \frac{ct_0'}{c-v}
och tiden \displaystyle t_{A2} som Alice upplever under denna ges av
\displaystyle t_{A2} = \frac{t_{A2}''}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c-v}
eftersom Alice i \displaystyle S'' är tidsdilaterad med faktorn \displaystyle \gamma. Den totala tiden som Alice upplever från det att hon separerats från Bob tills de möts igen ges därför av
\displaystyle t_A = t_{A1} + t_{A2} = \frac{1}{\gamma}\left(\frac{ct_0'}{c+v} + \frac{ct_0'}{c-v}\right) = \frac{2t_0'}{\gamma}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{t_B \gamma^2}{\gamma} = t_B \gamma.
Liksom i den tidigare analysen med tidsgapet kommer vi därför fram till att det ofrånkomligen är så att Alice är den som har åldrats mest när Alice och Bob återförenas samt att detta inte beror på vilka inertialsystem vi använder för att beskriva händelseförloppet.

Acceleration

En vanligt förekommande förklaring till varför förloppet i tvillingparadoxen inte är symmetriskt är att Bob måste accelerera. Det är helt korrekt att detta är en konsekvens av att Bob byter vilosystem, accelererar han inte byter han inte vilosystem, men det är inte helt rättvisande att hänvisa till att det är accelerationen som är upphov till varför Bob åldras mindre, utan detta beskrivs helt och hållet med analyserna ovan som inte någonstans hänvisat till Bobs acceleration. Tidsdilatationerna och geometrin som använts har enbart hänvisat till Alices och Bobs relativa hastigheter.