Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är de händelser som har en större tidskoordinat blir framtiden beroende på vilket inertialsystem vi betraktar och dessutom kan inte händelsen påverka alla framtida händelser. Vi vill därför införa ett nytt framtidsbegrepp som dels är oberoende av vilket inertialsystem som används och dels är sådant att alla framtida händelser till händelsen \displaystyle E kan påverkas av \displaystyle E. Lyckligtvis har vi sett att båda dessa två krav kan uppfyllas genom att definiera framtiden och dåtiden till \displaystyle E enligt:

Framtiden[def:framtidrelativistisk] till händelsen \displaystyle E (given av \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0) är de händelser som kan påverkas av \displaystyle E. Dåtiden[def:datidrelativistisk] till \displaystyle E är de händelser som kan påverka \displaystyle E.

I enlighet med vår diskussion tidigare i detta avsnitt uppfyller både framtida och dåtida händelser till \displaystyle E sambandet
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 \geq 0,
men för framtida händelser gäller dessutom att \displaystyle t > 0 och för dåtida att \displaystyle t < 0. Detta samband kan enkelt generaliseras även till flera rumsdimensioner där vi i stället erhåller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad c^2 t^2 \geq x^2 + y^2 + z^2
i fallet med tre rumsdimensioner. Händelserna som en ljussignal precis kan nå fram till uppfyller här likheten och detta samband är då det matematiska uttrycket för en kon, därav benämningen ljuskon, se figur [fig:ljuskon2D].

Det bör här noteras att vi tills nu förutsatt att händelsen \displaystyle E ligger i origo \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0. Det finns inget som hindrar oss att genomgå precis samma argumentation för vilken händelse som helst. Den enda förändringen som behöver göras är att i stället för koordinaterna \displaystyle t_A och \displaystyle x_A för en annan händelse \displaystyle A studera koordinatdifferenserna \displaystyle \Delta t = t_A-t_E och \displaystyle \Delta x = x_A-x_E.

Rumslik separation [sec:rumslikseparation]

Inom klassisk mekanik kunde vi givet en specifik händelse \displaystyle E dela upp hela rumtiden i tre olika kategorier: händelser som är framtiden, dåtiden och samtiden till \displaystyle E, beroende på händelsernas tidskoordinat. Med de nya fram- och dåtidsbegreppen är samtiden inte längre tillräcklig för att täcka in hela rumtiden tillsammans med dessa. Dessutom är som vi redan har sett även samtiden relativ och inertialsystemsberoende. För att komma till bukt med detta inför vi ett nytt begrepp för de händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 < 0
och säger att dessa är rumslikt separerade[def:rumslikseparation] från \displaystyle E, se figur [fig:ljuskonfancy], då separationen i rummet är större än separationen i tiden.

Per definition är detta de händelser som vare sig kan påverkas av eller påverka händelsen \displaystyle E. Tillsammans med de nya fram- och dåtidsbegreppen utgör de från \displaystyle E rumslikt separerade händelserna hela rumtiden på samma sätt som framtid, dåtid och samtid utgör hela rumtiden inom klassisk mekanik. Det är också vanligt att kalla händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 = 0
för ljuslikt separerade[def:ljuslikseparation], eftersom de ligger på en världslinje för en ljussignal, och händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 > 0
för tidslikt separerade[def:tidslikseparation], eftersom tidsseparationen är större än rumsseparationen.

Samtidighet på jorden
Jordens diameter är ungefär 12000 km. Studerar vi en händelse här och en på andra sidan jorden så fås därför att avståndet mellan dessa är \displaystyle \Delta x \approx 12\cdot 10^6 m. För att händelserna ska vara rumslikt separerade krävs därför att
\displaystyle c^2 \Delta t^2 < 144\cdot 10^{12}~\mbox{m}^2.
Detta motsvarar
\displaystyle |\Delta t| < \frac{12 \cdot 10^6~\mbox{m}}{c} \approx 0.04~\mbox{s}.
För att två händelser på jorden ska vara rumslikt separerade kan tidsskillnaden (i jordens vilosystem) därför vara maximalt 40 ms. Inträffar händelserna inom en kortare tidsram finns det ingen möjlighet för dem att påverka varandra.