Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet \displaystyle u = u' + v, där \displaystyle u är hastigheten i inertialsystemet \displaystyle S, \displaystyle u' är hastigheten i inertialsystemet \displaystyle S' och \displaystyle v är hastigheten för \displaystyle S' relativt \displaystyle S. Låt oss nu göra motsvarande betraktelse i det relativistiska fallet. Precis som i fallet med klassisk mekanik (se avsnitt 3) antar vi att Bob kastar en boll som i hans eget inertialsystem \displaystyle S' kan beskrivas av ekvationen
\displaystyle x' = u't' + x_0' = \frac{u'}{c} \gamma \left(ct - \frac{v}{c} x\right) + x_0' = \gamma(x-vt),
där vi har använt oss av lorentztransformationens båda samband för att erhålla en relation mellan \displaystyle x och \displaystyle t i Alices inertialsystem \displaystyle S. Om vi löser ut \displaystyle x ur detta som funktion av \displaystyle t erhålls
\displaystyle x = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}} t + \frac{x_0'}{\gamma\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)} \equiv ut + x_0.
Med andra ord kommer bollen i \displaystyle S att ha hastigheten
\displaystyle u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.
Detta är formeln för relativistisk hastighetsaddition[def:relativistiskhastighetsaddition]. Notera dock att vi här förutsatt att rörelsen sker enbart i samma riktning som den relativa rörelsen mellan inertialsystemen. I det mer allmänna fallet, då bollen även har en hastighetskomponent ortogonalt mot inertialsystemens relativa hastighet, blir sambandet aningen mer komplicerat.

Alice, Bob och relativistisk hastighetsaddition
Låt oss återgå till de exempel vi såg i början av kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Alice färdas med ett tåg som har hastighet 1 m/s i förhållande till Bob som observerar tåget från marken och Alice kastar en boll med hastigheten 1 m/s relativt henne själv i tågets färdriktning. I Bobs inertialsystem får då bollen hastigheten
\displaystyle u = \frac{1~\mbox{m/s} + 1~\mbox{m/s}}{1 + \left(\frac{1}{299792458}\right)^2} \approx 1.99999999999999998~\mbox{m/s}.
Numeriskt är detta värde så nära 2 m/s att den första korrektionen till den klassiska hastighetsadditionsformeln \displaystyle u = u'+v kommer i den sjuttonde decimalen. Detta är därför fullkomligt försumbart i vardagssituationer.

Alice och Bob adderar hastigheter i rymden
Om Alice byter ut tåget mot ett rymdskepp som färdas med hastigheten \displaystyle v = 0.9999c i Bobs inertialsystem och i stället skickar ut en ljusstråle i skeppets färdriktning kommer denna i Alices vilosystem att röra sig med hastigheten \displaystyle u' = c. I Bobs vilosystem får vi då enligt hastighetsadditionsformeln
\displaystyle u = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c,
det vill säga ljusstrålen rör sig även med hastigheten \displaystyle c i Bobs inertialsystem. Detta är givetvis inte särskilt förvånande eftersom den relativistiska hastighetsadditionsformeln konstruerades just för att ljushastigheten ska vara densamma i alla inertialsystem.

Sammanfattning:

• I speciell relativitetsteori ersätts galileitransformationen med lorentztransformationen \displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - vt\right) vilken beskriver hur koordinaterna i olika inertialsystem relaterar till varandra.
• Lorentztransformationen kan härledas antingen från tidsdilatation och längdkontraktion eller direkt från ljushastighetens invarians.
• Rumtidsdiagram i speciell relativitetsteori använder ofta variabeln \displaystyle ct på den vertikala axeln och kallas för minkowskidiagram. Följande gäller:
  • Världslinjer har lutningen \displaystyle c/v där \displaystyle v är objektets hastighet. Speciellt har världslinjer som beskriver ljussignaler lutningen \displaystyle \pm 1.
  • Positionslinjer motsvarar händelser med samma rumskoordinat. Samtidighetslinjer motsvarar händelser med samma tidskoordinat. Positions- och samtidighetslinjerna för det inertialsystem \displaystyle S som minkowskidiagrammet baserats på är vertikala respektive horisontella.
  • Positionslinjer för ett annat system \displaystyle S' har lutningen \displaystyle c/v där \displaystyle v är den relativa hastigheten mellan \displaystyle S och \displaystyle S'. Samtidighetslinjerna för \displaystyle S' har lutningen \displaystyle v/c.
• Den relativistiska formeln för hastighetsaddition är \displaystyle u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.