Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar vårt minkowskidiagram på eftersom alla minkowskidiagram kommer att beskriva samma rumtid, om än på olika sätt. Låt oss nu jämföra minkowskidiagrammen från olika inertialsystem och diskutera ett antal grundläggande begrepp inom speciell relativitetsteori med deras hjälp.

Vi börjar med att diskutera hur koordinataxlarna för inertialsystemet \displaystyle S' beskrivs i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet \displaystyle S. Tidsaxeln i \displaystyle S' är den linje för vilken \displaystyle x' = 0. Om \displaystyle S' rör sig med hastigheten \displaystyle v i förhållande till \displaystyle S innebär detta att tidsaxeln beskrivs av
\displaystyle x' = \gamma(x-vt) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x,
det vill säga en linje från origo med lutningen \displaystyle c/v. Detta är helt konsekvent med hur tidsaxeln ändrades genom galileitransformationen. När vi i stället tittar på hur rumsaxeln i \displaystyle S' beskrivs i \displaystyle S vet vi på samma sätt att denna beskrivs av \displaystyle t' = 0 och därför
\displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac vc x\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c} x.
Detta innebär att \displaystyle x'-axeln i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet \displaystyle S beskrivs av en linje genom origo med lutningen \displaystyle v/c, se figur [fig:mdiagramaxlar].

Att \displaystyle x'-axeln skiljer sig ifrån \displaystyle x-axeln är en fundamental skillnad jämfört med rumtidsdiagrammen som baserades på galileitransformationen, där dessa alltid sammanföll.

Samma plats och samma tid

Om två händelser inträffar på samma position i ett inertialsystem \displaystyle S gäller det per definition att de har samma rumskoordinat \displaystyle x=x_0. Detta innebär att om vi vill beskriva alla händelser som inträffar vid denna position i \displaystyle S så beskrivs dessa av en vertikal positionslinje[def:positionslinje] i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S. På motsvarande sätt gäller att samtidiga händelser i \displaystyle S per definition har samma tidskoordinat \displaystyle t = t_0 och därmed beskrivs alla dessa med en horisontell samtidighetslinje[def:samtidighetslinje] i minkowskidiagrammet, se figur [fig:samtidighet].

På samma sätt som vi ritade ut koordinataxlarna till inertialsystemet \displaystyle S' i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S kan vi rita ut positions- och samtidighetslinjerna som tillhör \displaystyle S' i samma minkowskidiagram. För positionslinjerna i \displaystyle S' ska det gälla att de motsvarar samma \displaystyle x'-koordinat och om vi sätter \displaystyle x' = x_0' erhålls från lorentztransformationen
\displaystyle x_0' = \gamma (x - vt) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x - \frac{cx_0'}{v\gamma}.
Positionslinjen tillhörandes \displaystyle S' beskrivs således av en linje med lutningen \displaystyle c/v i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S, det vill säga en linje som är parallell med tidsaxeln i \displaystyle S'. För samtidighetslinjen motsvarande \displaystyle t' = t_0' fås
\displaystyle ct_0' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c} x\right) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c}x + \frac{ct_0'}{\gamma},
det vill säga en linje med lutningen \displaystyle v/c som därmed är parallell med \displaystyle x'-axeln, se figur [fig:samtidighetSprim].

Vi noterar här speciellt att samtidighetslinjer för \displaystyle S och samtidighetslinjer för \displaystyle S' har olika lutning i minkowskidiagrammet. Detta är en direkt grafisk representation av relativ samtidighet då två händelser som ligger på en samtidighetslinje i \displaystyle S inte kommer ligga på en samtidighetslinje i \displaystyle S' och vice versa.

Klassiska gränsen

Vi kan också studera den klassiska gränsen i vilken lorentztransformationen övergår i galileitransformationen. Vi gör detta genom att gå tillbaka till ett rumtidsdiagram där vi på tidsaxeln anger \displaystyle t i stället för \displaystyle ct. I ett sådant rumtidsdiagram får positionslinjerna för \displaystyle S' i stället lutningen \displaystyle 1/v och samtidighetslinjerna lutningen \displaystyle v/c^2. I figur [fig:lorentztogalilei] visas hur positionslinjerna och samtidighetslinjerna ändras när vi stegvis minskar \displaystyle v/c till dess att \displaystyle v = c/7.

Vi ser att även om positionslinjerna är oförändrade ändras samtidighetslinjerna för \displaystyle S' tills de blir i stort sett parallella med samtidighetslinjerna i \displaystyle S och vi återfår därför både galileitransformationen och den absoluta samtidigheten i gränsen då ljushastigheten \displaystyle c kan anses vara mycket stor.