Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet att ljushastigheten måste vara invariant. En ljussignal från koordinaterna \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0 i inertialsystemet \displaystyle S följer någon av världslinjerna \displaystyle x = \pm ct, vilket i ett annat inertialsystem \displaystyle S' kan uttryckas \displaystyle x' = \pm ct' då ljushastigheten är invariant. Dessa samband är lösningarna till
\displaystyle \label{eq:ljusintervall} c^2t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2 = 0
som därför sammanfattar kraven för en ljussignal oberoende av vilken riktning den rör sig i. Vi kan härleda lorentztransformationen genom att anta att sambandet
\displaystyle \label{eq:linjeelement} c^2 t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2
måste gälla för alla händelser, inte bara dem som ljussignalen från origo passerar. Om detta ger tillräcklig information för att helt bestämma lorentztransformationen kommer ekvation [eq:ljusintervall] automatiskt att vara uppfylld.

Vi vill nu hitta den transformation som uppfyller sambandet samtidigt som \displaystyle x' = 0 är ekvivalent med \displaystyle x = vt, det vill säga att origo för \displaystyle S' rör sig med en hastighet \displaystyle v i \displaystyle S, och vi ansätter därför

\displaystyle \begin{aligned} ct' &= c\alpha t + \beta x, \\ x' &= c\lambda t + \mu x,\end{aligned}

där \displaystyle \alpha, \displaystyle \beta, \displaystyle \lambda och \displaystyle \mu är konstanter vi vill bestämma. Vi kräver att \displaystyle \alpha > 0 för att tiden \displaystyle t' ska öka om \displaystyle t gör det samt att \displaystyle \mu > 0 för att koordinaten \displaystyle x' ska öka om \displaystyle x gör det (i båda fallen med \displaystyle x respektive \displaystyle t konstant). Genom att kvadrera dessa ekvationer och sätta in resultaten i ekvation [eq:linjeelement] fås
\displaystyle c^2 t^2(\alpha^2 - \lambda^2) + 2c(\alpha\beta - \lambda\mu) tx - x^2 (\mu^2 - \beta^2) = c^2 t^2 - x^2.
För att detta ska vara uppfyllt för alla möjliga \displaystyle t och \displaystyle x erhålls ekvationssystemet

\displaystyle \begin{aligned} \alpha^2 - \lambda^2 &= 1, \\ \mu^2 - \beta^2 &= 1, \\ \alpha\beta &= \lambda\mu.\end{aligned}

Ur de första två ekvationerna erhålls
\displaystyle \alpha = \sqrt{1+\lambda^2} \quad \mbox{och} \quad \mu = \sqrt{1+\beta^2}
vilket insatt i den tredje leder till
\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}
som är uppfyllt enbart då \displaystyle \beta = \lambda. Kravet att \displaystyle x' = 0 om \displaystyle x = vt ger dessutom
\displaystyle 0 = \lambda ct + \mu vt \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \beta = -\frac vc \mu.
Insatt i de ursprungliga ekvationerna hittar vi nu lösningen

\displaystyle \begin{aligned} \mu^2 - \frac{v^2}{c^2}\mu^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \mu = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= \gamma, \\ \lambda = \beta = -\frac{v}{c}\mu &= \frac{-v}{c} \gamma, \\ \alpha = \sqrt{1+\lambda^2} = \sqrt{1+\frac{v^2}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})}} &= \gamma.\end{aligned}

Jämför vi detta resultat med den ursprungliga ansatsen ser vi nu att
\displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - \frac{v}{c}ct\right).
Som väntat är detta lorentztransformationen given i ekvation [eq:lorentztransformation].