Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

I kapitel [[#ch:ljushastigheten|]] härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion
\displaystyle t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\gamma},
där \displaystyle \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}, och vi har förutsatt att tidskoordinaten \displaystyle t' och vilolängden \displaystyle \ell_0 refererar till inertialsystemet \displaystyle S' där ett objekt befinner sig i vila. Vi ska nu använda oss av dessa begrepp för att resonera oss fram till hur tids- och rumskoordinaterna i olika inertialsystem måste vara relaterade till varandra. Låt oss studera en stav med vilolängden \displaystyle \ell_0 som är i vila i \displaystyle S' men som rör sig med hastigheten \displaystyle v i inertialsystemet \displaystyle S. Vi använder oss av ett koordinatsystem sådant att stavens bakre ände passerar \displaystyle x = 0 vid tiden \displaystyle t = 0 i \displaystyle S, se figur [fig:lorentztransformation1].

I systemet \displaystyle S' där staven är i vila kommer dess främre ände alltid ha den konstanta rumskoordinaten \displaystyle x' = \ell_0. Samtidigt vet vi att den främre änden i systemet \displaystyle S beskrivs av världslinjen
\displaystyle x = vt + \ell = vt + \frac{\ell_0}{\gamma} = vt + \frac{x'}{\gamma}
eftersom staven i detta system har en längd \displaystyle \ell = \ell_0/\gamma och rör sig med en hastighet \displaystyle v. Om vi löser ut \displaystyle x' ur detta samband finner vi att
\displaystyle x' = \gamma(x-vt).
Detta påminner väldigt starkt om galileitransformationens \displaystyle x' = x - vt fast med tillägget av lorentzfaktorn.

För att se hur tidskoordinaten \displaystyle t' i \displaystyle S' relateras till koordinaterna \displaystyle t och \displaystyle x i \displaystyle S börjar vi med att studera händelser som inträffar vid \displaystyle x = 0. För dessa händelser vet vi att \displaystyle t' = 0 när \displaystyle t = 0 och att tiden \displaystyle t allmänt sett är tidsdilaterad relativt \displaystyle t', det vill säga \displaystyle t' = \gamma t. Om vi i stället tar en händelse med en nollskild \displaystyle x-koordinat vet vi efter diskussionen i kapitel [[#ch:relativsamtidighet|]] att denna i \displaystyle S' är samtidig med händelsen som inträffar i origo i \displaystyle S vid tiden \displaystyle t - vx/c^2, vilket alltså motsvarar
\displaystyle t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right).
Tillsammans med transformationsregeln för rumskoordinaten bildar detta samband lorentztransformationen
\displaystyle t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad x' = \gamma (x - vt).
Multipliceras den första av de här ekvationerna med \displaystyle c återfås transformationen på samma form som i ekvation [eq:lorentztransformation]. Det bör noteras att begreppet relativ samtidighet här blir uppenbart.