Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

I många fall är det hjälpsamt att kunna skapa en figur som illustrerar olika händelseförlopp. Ett vanligt sätt att göra detta på inom relativitetsteorin är att använda sig av så kallade rumtidsdiagram[def:rumtidsdiagram]. Dessa är dock inte enbart förekommande i relativitetsteori utan kan med fördel även användas inom klassisk mekanik. Givet ett inertialsystem så kan vi beskriva ett objekts rörelse med hjälp av ett diagram i vilket dess position i systemet visas som en funktion av tiden.

Alice och Bob ritar rumtidsdiagram
Som exempel på detta kan vi beskriva Bobs rörelse i Alices inertialsystem i vårt tidigare exempel genom att visa Bobs position relativt Alice som en funktion av tiden.

Då Bobs läge i Alices inertialsystem ges av \displaystyle x(t) = vt kommer denna funktion att vara en rak linje. På samma sätt kan vi beskriva alla objekt i likformig rörelse med raka linjer i samma diagram. Accelererande objekt beskrivs av krökta kurvor, se figur [fig:rumtidsdiagram].

Den vanliga konventionen i relativitetsteori är att använda den vertikala axeln för att beskriva tidsriktningen. Med denna konvention kommer den kurva som beskriver ett objekt som rör sig med hastigheten \displaystyle v att ha lutningen \displaystyle 1/v och stillastående objekt kommer att beskrivas av vertikala kurvor. En högre hastighet ger därför en mindre lutning och tvärt om. En kurva som på detta sätt beskriver hur ett objekt rör sig kallas för objektets världslinje[def:varldslinje].

[ex:aliceochbobvarldslinjer] Alices och Bobs världslinjer
I Alices inertialsystem kan vi beskriva både Alices och Bobs rörelse genom att titta på deras världslinjer. I figur [fig:alicebobrumtid] visar vi var Alice och Bob befinner sig beskrivet i Alices inertialsystem vid ett antal olika jämnt utspridda tidpunkter.

Genom att dra en kurva genom positionerna för Alice och Bob vid dessa olika tidpunkter kan vi skapa Alices och Bobs världslinjer.

Galileitransformationen och rumtidsdiagram

Som vi nämnt tidigare spelar det inte någon roll vilket inertialsystem vi använder för att beskriva fysikaliska skeenden. När vi ritar ett rumtidsdiagram kan vi därför själva välja vilket inertialsystem vårt diagram ska basera sig på. Som vi tidigare diskuterat finns det ingen fysikalisk princip som medför att vi bör föredra Alices inertialsystem över Bobs eller tvärt om. Skillnaden mellan de båda diagrammen är att objekt som rör sig med hastigheten \displaystyle u i Alices system kommer att röra sig med hastigheten \displaystyle u' = u-v i Bobs system. Därmed kommer objekt vars världslinje hade lutning \displaystyle 1/u i Alices system ha lutningen \displaystyle 1/(u-v) i Bobs system.

Rumtidsdiagram visar en bild av rumtiden där varje punkt motsvarar en händelse, det vill säga en tid och en position. Vilket inertialsystem vi använder för att beskriva rumtiden spelar egentligen ingen roll, utan alla inertialsystem är likvärdiga och beskriver samma rumtid. Faktum är att vi i samma rumtidsdiagram kan rita ut koordinataxlarna för flera olika inertialsystem. Då Alice och Bob följer tidsaxlarna i sina egna system, som beskrivs av \displaystyle x=0 respektive \displaystyle x'=0, är detta lätt gjort och vi kan alltid välja vilket av dessa (om något) vi vill ska ha en vertikal tidsaxel, se figur [fig:alicebobrumtidsdiagram]. För att hitta rumskoordinaten \displaystyle x kan vi dra en linje parallellt med tidsaxeln i \displaystyle S. Rumskoordinaten ges då av det värde vid vilket denna linje korsar \displaystyle x-axeln. På motsvarande sätt kan vi hitta rumskoordinaten \displaystyle x' i \displaystyle S genom att dra en linje parallellt med tidsaxeln i \displaystyle S'.

Eftersom rumsaxeln motsvaras av \displaystyle t = 0 och tiden är densamma i alla inertialsystem sammanfaller alla inertialsystems rumsaxlar.